Номер 24.40, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.40. Докажите неравенство $tg\frac{\alpha}{2} + tg\frac{\beta}{2} + tg\frac{\gamma}{2} \ge \sqrt{3}$, где $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы треугольника.

Поскольку $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ являются углами треугольника, их сумма равна $\pi$ радиан (или 180°):

$\alpha + \beta + \gamma = \pi$

Отсюда следует, что $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi - \gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$.

Возьмем тангенс от обеих частей этого равенства:

$\text{tg}\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right)$

Используя формулу приведения $\text{tg}(\frac{\pi}{2} - x) = \text{ctg}(x)$, получаем:

$\text{tg}\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \text{ctg}\left(\frac{\gamma}{2}\right) = \frac{1}{\text{tg}\left(\frac{\gamma}{2}\right)}$

Теперь применим формулу тангенса суммы для левой части:

$\frac{\text{tg}\frac{\alpha}{2} + \text{tg}\frac{\beta}{2}}{1 - \text{tg}\frac{\alpha}{2}\text{tg}\frac{\beta}{2}} = \frac{1}{\text{tg}\frac{\gamma}{2}}$

Перемножим крест-накрест:

$\left(\text{tg}\frac{\alpha}{2} + \text{tg}\frac{\beta}{2}\right)\text{tg}\frac{\gamma}{2} = 1 - \text{tg}\frac{\alpha}{2}\text{tg}\frac{\beta}{2}$

Раскроем скобки и перенесем слагаемые:

$\text{tg}\frac{\alpha}{2}\text{tg}\frac{\gamma}{2} + \text{tg}\frac{\beta}{2}\text{tg}\frac{\gamma}{2} = 1 - \text{tg}\frac{\alpha}{2}\text{tg}\frac{\beta}{2}$

$\text{tg}\frac{\alpha}{2}\text{tg}\frac{\beta}{2} + \text{tg}\frac{\beta}{2}\text{tg}\frac{\gamma}{2} + \text{tg}\frac{\gamma}{2}\text{tg}\frac{\alpha}{2} = 1$

Это важное тождество для половинных углов треугольника.

Теперь воспользуемся известным алгебраическим неравенством. Для любых действительных чисел $x, y, z$ справедливо:

$(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$

Это неравенство можно доказать, раскрыв скобки: $x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx \ge 3xy+3yz+3zx$, что эквивалентно $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx \ge 0$. Умножив на 2, получим $(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \ge 0$, что очевидно верно.

Пусть $x = \text{tg}\frac{\alpha}{2}$, $y = \text{tg}\frac{\beta}{2}$, $z = \text{tg}\frac{\gamma}{2}$. Так как $\alpha, \beta, \gamma$ - углы треугольника, они находятся в интервале $(0, \pi)$, а их половины $\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2}$ - в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$. В этом интервале тангенсы положительны, поэтому $x, y, z > 0$.

Подставим наши обозначения в доказанное выше тождество:

$xy+yz+zx = 1$

Теперь подставим это в неравенство $(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$:

$(\text{tg}\frac{\alpha}{2} + \text{tg}\frac{\beta}{2} + \text{tg}\frac{\gamma}{2})^2 \ge 3(1)$

$(\text{tg}\frac{\alpha}{2} + \text{tg}\frac{\beta}{2} + \text{tg}\frac{\gamma}{2})^2 \ge 3$

Поскольку тангенсы половинных углов треугольника положительны, их сумма также положительна. Мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства:

$\text{tg}\frac{\alpha}{2} + \text{tg}\frac{\beta}{2} + \text{tg}\frac{\gamma}{2} \ge \sqrt{3}$

Неравенство доказано. Равенство достигается, когда $x=y=z$, то есть $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \text{tg}\frac{\beta}{2} = \text{tg}\frac{\gamma}{2}$, что означает $\alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{3}$ (равносторонний треугольник).

Ответ: Неравенство доказано.