Номер 25.6, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.6. Вычислите:

1) $ \sin 110^\circ + \sin 130^\circ + \sin 150^\circ + \dots + \sin 230^\circ + \sin 250^\circ + \sin 270^\circ $;

2) $ \text{tg} 10^\circ \text{tg} 20^\circ \text{tg} 30^\circ \dots \text{tg} 70^\circ \text{tg} 80^\circ $;

3) $ \text{ctg} 15^\circ + \text{ctg} 30^\circ + \text{ctg} 45^\circ + \dots + \text{ctg} 165^\circ $.

Данное выражение представляет собой сумму синусов углов, составляющих арифметическую прогрессию: $110°, 130°, ..., 270°$. Разность прогрессии равна $20°$. Полный ряд слагаемых выглядит так: $sin110° + sin130° + sin150° + sin170° + sin190° + sin210° + sin230° + sin250° + sin270°$.

Для упрощения воспользуемся формулами приведения $sin(180° - \alpha) = sin(\alpha)$ и $sin(180° + \alpha) = -sin(\alpha)$. Сгруппируем слагаемые, симметричные относительно $180°$.

$sin110° + sin250° = sin(180° - 70°) + sin(180° + 70°) = sin70° - sin70° = 0$
$sin130° + sin230° = sin(180° - 50°) + sin(180° + 50°) = sin50° - sin50° = 0$
$sin150° + sin210° = sin(180° - 30°) + sin(180° + 30°) = sin30° - sin30° = 0$
$sin170° + sin190° = sin(180° - 10°) + sin(180° + 10°) = sin10° - sin10° = 0$

Сумма всех этих пар равна нулю. Единственное слагаемое, которое осталось без пары, это $sin270°$.

Поскольку $sin270° = -1$, итоговая сумма равна $0 + 0 + 0 + 0 + (-1) = -1$.

Ответ: $-1$

Рассмотрим произведение тангенсов: $tg10° \cdot tg20° \cdot tg30° \cdot tg40° \cdot tg50° \cdot tg60° \cdot tg70° \cdot tg80°$.

Используем свойство тангенса $tg(90° - \alpha) = ctg(\alpha)$ и основное тригонометрическое тождество $tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha) = 1$.

Сгруппируем множители в пары так, чтобы сумма углов в каждой паре была равна $90°$:

$(tg10° \cdot tg80°) \cdot (tg20° \cdot tg70°) \cdot (tg30° \cdot tg60°) \cdot (tg40° \cdot tg50°)$

Вычислим значение каждой пары:
$tg10° \cdot tg80° = tg10° \cdot tg(90° - 10°) = tg10° \cdot ctg10° = 1$
$tg20° \cdot tg70° = tg20° \cdot tg(90° - 20°) = tg20° \cdot ctg20° = 1$
$tg30° \cdot tg60° = tg30° \cdot tg(90° - 30°) = tg30° \cdot ctg30° = 1$
$tg40° \cdot tg50° = tg40° \cdot tg(90° - 40°) = tg40° \cdot ctg40° = 1$

Таким образом, всё произведение равно $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: $1$

Рассмотрим сумму котангенсов углов, составляющих арифметическую прогрессию от $15°$ до $165°$ с шагом $15°$. Всего в сумме 11 слагаемых.

Используем формулу приведения $ctg(180° - \alpha) = -ctg(\alpha)$. Сгруппируем слагаемые, чьи углы в сумме дают $180°$:

$(ctg15° + ctg165°) + (ctg30° + ctg150°) + (ctg45° + ctg135°) + (ctg60° + ctg120°) + (ctg75° + ctg105°) + ctg90°$

Каждая пара в скобках представляет собой сумму вида $ctg(\alpha) + ctg(180° - \alpha)$, которая равна $ctg(\alpha) - ctg(\alpha) = 0$. Например:
$ctg15° + ctg165° = ctg15° + ctg(180° - 15°) = ctg15° - ctg15° = 0$.
Аналогично, все пять пар слагаемых в сумме дают ноль.

Центральный член, не имеющий пары, это $ctg90°$, который также равен нулю: $ctg90° = 0$.

Следовательно, вся сумма равна $0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$