Номер 25.5, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.5. Вычислите:

1) $\cot 5^\circ \cot 15^\circ \cot 25^\circ \dots \cot 75^\circ \cot 85^\circ$

2) $\tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \tan 60^\circ + \dots + \tan 160^\circ + \tan 180^\circ$

3) $\sin 0^\circ + \sin 1^\circ + \sin 2^\circ + \dots + \sin 359^\circ + \sin 360^\circ$

1) $ctg5^\circ ctg15^\circ ctg25^\circ ...ctg75^\circ ctg85^\circ$

Данное выражение представляет собой произведение котангенсов. Углы в аргументах котангенсов образуют арифметическую прогрессию с первым членом $5^\circ$ и разностью $10^\circ$. Запишем все члены последовательности: $5^\circ, 15^\circ, 25^\circ, 35^\circ, 45^\circ, 55^\circ, 65^\circ, 75^\circ, 85^\circ$. Всего 9 членов.

Для решения воспользуемся формулой приведения $ctg(90^\circ - \alpha) = tg(\alpha)$ и основным тригонометрическим тождеством $ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha) = 1$.

Сгруппируем множители в произведении симметрично относительно центрального члена $ctg45^\circ$:

$(ctg5^\circ \cdot ctg85^\circ) \cdot (ctg15^\circ \cdot ctg75^\circ) \cdot (ctg25^\circ \cdot ctg65^\circ) \cdot (ctg35^\circ \cdot ctg55^\circ) \cdot ctg45^\circ$

Теперь преобразуем вторые множители в каждой паре с помощью формулы приведения:

$ctg85^\circ = ctg(90^\circ - 5^\circ) = tg5^\circ$

$ctg75^\circ = ctg(90^\circ - 15^\circ) = tg15^\circ$

$ctg65^\circ = ctg(90^\circ - 25^\circ) = tg25^\circ$

$ctg55^\circ = ctg(90^\circ - 35^\circ) = tg35^\circ$

Подставим полученные выражения обратно в произведение:

$(ctg5^\circ \cdot tg5^\circ) \cdot (ctg15^\circ \cdot tg15^\circ) \cdot (ctg25^\circ \cdot tg25^\circ) \cdot (ctg35^\circ \cdot tg35^\circ) \cdot ctg45^\circ$

Произведение каждой пары $(ctg\alpha \cdot tg\alpha)$ равно 1. Значение $ctg45^\circ$ также равно 1.

$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: 1

2) $tg20^\circ + tg40^\circ + tg60^\circ + ... + tg160^\circ + tg180^\circ$

Данное выражение представляет собой сумму тангенсов. Углы образуют арифметическую прогрессию с первым членом $20^\circ$ и разностью $20^\circ$. Всего в сумме 9 членов: $20^\circ, 40^\circ, 60^\circ, 80^\circ, 100^\circ, 120^\circ, 140^\circ, 160^\circ, 180^\circ$.

Для решения воспользуемся формулой приведения $tg(180^\circ - \alpha) = -tg(\alpha)$.

Сгруппируем слагаемые попарно:

$(tg20^\circ + tg160^\circ) + (tg40^\circ + tg140^\circ) + (tg60^\circ + tg120^\circ) + (tg80^\circ + tg100^\circ) + tg180^\circ$

Преобразуем вторые слагаемые в каждой паре:

$tg160^\circ = tg(180^\circ - 20^\circ) = -tg20^\circ$

$tg140^\circ = tg(180^\circ - 40^\circ) = -tg40^\circ$

$tg120^\circ = tg(180^\circ - 60^\circ) = -tg60^\circ$

$tg100^\circ = tg(180^\circ - 80^\circ) = -tg80^\circ$

Подставим полученные значения обратно в сумму:

$(tg20^\circ - tg20^\circ) + (tg40^\circ - tg40^\circ) + (tg60^\circ - tg60^\circ) + (tg80^\circ - tg80^\circ) + tg180^\circ$

Сумма в каждой скобке равна нулю. Значение $tg180^\circ$ также равно 0.

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Ответ: 0

3) $sin0^\circ + sin1^\circ + sin2^\circ + ... + sin359^\circ + sin360^\circ$

Это сумма значений синуса для углов от $0^\circ$ до $360^\circ$ с шагом в $1^\circ$.

Сразу определим значения для некоторых углов:

$sin0^\circ = 0$

$sin180^\circ = 0$

$sin360^\circ = 0$

Для остальных слагаемых применим формулу приведения $sin(360^\circ - \alpha) = -sin(\alpha)$. Сгруппируем слагаемые попарно так, чтобы сумма углов в каждой паре была равна $360^\circ$.

$S = sin0^\circ + (sin1^\circ + sin359^\circ) + (sin2^\circ + sin358^\circ) + ... + (sin179^\circ + sin181^\circ) + sin180^\circ + sin360^\circ$

Рассмотрим сумму в каждой паре:

$sin359^\circ = sin(360^\circ - 1^\circ) = -sin1^\circ \implies sin1^\circ + sin359^\circ = 0$

$sin358^\circ = sin(360^\circ - 2^\circ) = -sin2^\circ \implies sin2^\circ + sin358^\circ = 0$

...

$sin181^\circ = sin(360^\circ - 179^\circ) = -sin179^\circ \implies sin179^\circ + sin181^\circ = 0$

Каждая из 179 пар в сумме дает 0. Таким образом, вся сумма состоит из слагаемых, равных нулю.

$0 + (0) + (0) + ... + (0) + 0 + 0 = 0$

Ответ: 0