Номер 24.39, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.39. Докажите неравенство $\text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} + \text{tg}^2 \frac{\beta}{2} + \text{tg}^2 \frac{\gamma}{2} \ge 1$, где $\alpha, \beta$ и $\gamma$ — углы треугольника.

Поскольку $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ являются углами треугольника, их сумма равна $\pi$ радиан: $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.

Разделим обе части этого равенства на 2: $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Из этого соотношения мы можем выразить сумму двух углов через третий: $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$.

Применим к обеим частям этого равенства тригонометрическую функцию тангенс: $\mathrm{tg}\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) = \mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right)$.

Используя формулу тангенса суммы для левой части и формулу приведения для правой части, получим: $\frac{\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2} + \mathrm{tg}\frac{\beta}{2}}{1 - \mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}\mathrm{tg}\frac{\beta}{2}} = \mathrm{ctg}\frac{\gamma}{2} = \frac{1}{\mathrm{tg}\frac{\gamma}{2}}$.

Преобразуем это выражение, умножив обе части на знаменатели: $\left(\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2} + \mathrm{tg}\frac{\beta}{2}\right)\mathrm{tg}\frac{\gamma}{2} = 1 - \mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}\mathrm{tg}\frac{\beta}{2}$.

Раскроем скобки и перегруппируем члены: $\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}\mathrm{tg}\frac{\gamma}{2} + \mathrm{tg}\frac{\beta}{2}\mathrm{tg}\frac{\gamma}{2} = 1 - \mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}\mathrm{tg}\frac{\beta}{2}$.

В результате мы приходим к известному тождеству для углов треугольника: $\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}\mathrm{tg}\frac{\beta}{2} + \mathrm{tg}\frac{\beta}{2}\mathrm{tg}\frac{\gamma}{2} + \mathrm{tg}\frac{\gamma}{2}\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2} = 1$.

Теперь рассмотрим известное алгебраическое неравенство для любых действительных чисел $x$, $y$, $z$: $x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx$.

Докажем это неравенство. Умножим обе части на 2 и перенесём все члены в левую часть: $2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx \ge 0$.

Сгруппируем члены, чтобы выделить полные квадраты: $(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2) \ge 0$.

$(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 \ge 0$.

Это неравенство всегда верно, так как сумма квадратов действительных чисел не может быть отрицательной. Равенство достигается при $x = y = z$.

Теперь сделаем замену: пусть $x = \mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}$, $y = \mathrm{tg}\frac{\beta}{2}$ и $z = \mathrm{tg}\frac{\gamma}{2}$. Поскольку $\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2}$ являются острыми углами, их тангенсы положительны.

Подставляя эти значения в доказанное алгебраическое неравенство, получаем: $\mathrm{tg}^2\frac{\alpha}{2} + \mathrm{tg}^2\frac{\beta}{2} + \mathrm{tg}^2\frac{\gamma}{2} \ge \mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}\mathrm{tg}\frac{\beta}{2} + \mathrm{tg}\frac{\beta}{2}\mathrm{tg}\frac{\gamma}{2} + \mathrm{tg}\frac{\gamma}{2}\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}$.

А так как мы ранее вывели, что $\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}\mathrm{tg}\frac{\beta}{2} + \mathrm{tg}\frac{\beta}{2}\mathrm{tg}\frac{\gamma}{2} + \mathrm{tg}\frac{\gamma}{2}\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2} = 1$, то: $\mathrm{tg}^2\frac{\alpha}{2} + \mathrm{tg}^2\frac{\beta}{2} + \mathrm{tg}^2\frac{\gamma}{2} \ge 1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.