Номер 25.1, страница 182 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.1. Вычислите:

1) $\cos 225^\circ$;

2) $\sin 240^\circ$;

3) $\cos \frac{5\pi}{4}$;

4) $\cos \left(-\frac{4\pi}{3}\right)$.

1) Для вычисления $ \cos(225^\circ) $ воспользуемся формулами приведения. Угол $ 225^\circ $ находится в третьей координатной четверти (от $ 180^\circ $ до $ 270^\circ $). Косинус в этой четверти имеет отрицательный знак. Представим угол $ 225^\circ $ как сумму $ 180^\circ + 45^\circ $.
Используя формулу приведения $ \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) $, получаем:
$ \cos(225^\circ) = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos(45^\circ) $.
Значение косинуса $ 45^\circ $ является табличным: $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Следовательно, $ \cos(225^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $

2) Для вычисления $ \sin(240^\circ) $ воспользуемся формулами приведения. Угол $ 240^\circ $ находится в третьей координатной четверти. Синус в этой четверти имеет отрицательный знак. Представим угол $ 240^\circ $ как сумму $ 180^\circ + 60^\circ $.
Используя формулу приведения $ \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha) $, получаем:
$ \sin(240^\circ) = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin(60^\circ) $.
Значение синуса $ 60^\circ $ является табличным: $ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Следовательно, $ \sin(240^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $

3) Для вычисления $ \cos(\frac{5\pi}{4}) $ воспользуемся формулами приведения. Угол $ \frac{5\pi}{4} $ находится в третьей координатной четверти (от $ \pi $ до $ \frac{3\pi}{2} $). Косинус в этой четверти имеет отрицательный знак. Представим угол $ \frac{5\pi}{4} $ как сумму $ \pi + \frac{\pi}{4} $.
Используя формулу приведения $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha) $, получаем:
$ \cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) $.
Значение косинуса $ \frac{\pi}{4} $ является табличным: $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Следовательно, $ \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $

4) Для вычисления $ \cos(-\frac{4\pi}{3}) $ сначала воспользуемся свойством четности функции косинус: $ \cos(-x) = \cos(x) $.
$ \cos(-\frac{4\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3}) $.
Теперь применим формулы приведения. Угол $ \frac{4\pi}{3} $ находится в третьей координатной четверти. Косинус в этой четверти имеет отрицательный знак. Представим угол $ \frac{4\pi}{3} $ как сумму $ \pi + \frac{\pi}{3} $.
Используя формулу приведения $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha) $, получаем:
$ \cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) $.
Значение косинуса $ \frac{\pi}{3} $ является табличным: $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $.
Следовательно, $ \cos(-\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $