Страница 182 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Сформулируйте правила, которыми можно руководствоваться при применении формул приведения.

Формулы приведения используются для преобразования тригонометрических функций углов вида $k \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha$ (или $k \cdot 90^\circ \pm \alpha$), где $k$ — целое число, к тригонометрическим функциям угла $\alpha$. Для применения этих формул можно руководствоваться следующим мнемоническим правилом, состоящим из двух шагов:

1. Определение знака итоговой функции.

Знак перед полученной функцией определяется по знаку исходной функции в той координатной четверти, в которой находится первоначальный угол $k \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha$. При этом для простоты определения четверти угол $\alpha$ условно считается острым ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$).

2. Определение наименования итоговой функции.

Наименование функции зависит от того, на какой оси единичной окружности лежит точка, соответствующая углу $k \cdot \frac{\pi}{2}$:

- Если эта точка лежит на горизонтальной оси OX (углы $\pi, 2\pi, \dots$ или $180^\circ, 360^\circ, \dots$), то наименование функции не меняется.
- Если эта точка лежит на вертикальной оси OY (углы $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$ или $90^\circ, 270^\circ, \dots$), то наименование функции меняется на кофункцию: синус на косинус ($\sin \leftrightarrow \cos$) и тангенс на котангенс ($\text{tg} \leftrightarrow \text{ctg}$).

Примеры применения правил:

а) Упростить $\cos(\pi + \alpha)$.

1. Определение знака: Угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти. Исходная функция (косинус) в III четверти отрицательна. Следовательно, у результата будет знак «–».
2. Определение функции: Угол $\pi$ соответствует точке на горизонтальной оси, поэтому наименование функции $\cos$ не меняется.
В результате получаем: $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Ответ: $-\cos(\alpha)$.

б) Упростить $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$.

1. Определение знака: Угол $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ находится в III четверти. Исходная функция (синус) в III четверти отрицательна. Следовательно, у результата будет знак «–».
2. Определение функции: Угол $\frac{3\pi}{2}$ соответствует точке на вертикальной оси, поэтому наименование функции $\sin$ меняется на кофункцию, то есть на $\cos$.
В результате получаем: $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Ответ: $-\cos(\alpha)$.

в) Упростить $\text{ctg}(2\pi - \alpha)$.

1. Определение знака: Угол $2\pi - \alpha$ находится в IV четверти. Исходная функция (котангенс) в IV четверти отрицательна. Следовательно, у результата будет знак «–».
2. Определение функции: Угол $2\pi$ соответствует точке на горизонтальной оси, поэтому наименование функции $\text{ctg}$ не меняется.
В результате получаем: $\text{ctg}(2\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.

Ответ: $-\text{ctg}(\alpha)$.

25.1. Вычислите:

1) $\cos 225^\circ$;

2) $\sin 240^\circ$;

3) $\cos \frac{5\pi}{4}$;

4) $\cos \left(-\frac{4\pi}{3}\right)$.

1) Для вычисления $ \cos(225^\circ) $ воспользуемся формулами приведения. Угол $ 225^\circ $ находится в третьей координатной четверти (от $ 180^\circ $ до $ 270^\circ $). Косинус в этой четверти имеет отрицательный знак. Представим угол $ 225^\circ $ как сумму $ 180^\circ + 45^\circ $.
Используя формулу приведения $ \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) $, получаем:
$ \cos(225^\circ) = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos(45^\circ) $.
Значение косинуса $ 45^\circ $ является табличным: $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Следовательно, $ \cos(225^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $

2) Для вычисления $ \sin(240^\circ) $ воспользуемся формулами приведения. Угол $ 240^\circ $ находится в третьей координатной четверти. Синус в этой четверти имеет отрицательный знак. Представим угол $ 240^\circ $ как сумму $ 180^\circ + 60^\circ $.
Используя формулу приведения $ \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha) $, получаем:
$ \sin(240^\circ) = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin(60^\circ) $.
Значение синуса $ 60^\circ $ является табличным: $ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Следовательно, $ \sin(240^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $

3) Для вычисления $ \cos(\frac{5\pi}{4}) $ воспользуемся формулами приведения. Угол $ \frac{5\pi}{4} $ находится в третьей координатной четверти (от $ \pi $ до $ \frac{3\pi}{2} $). Косинус в этой четверти имеет отрицательный знак. Представим угол $ \frac{5\pi}{4} $ как сумму $ \pi + \frac{\pi}{4} $.
Используя формулу приведения $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha) $, получаем:
$ \cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) $.
Значение косинуса $ \frac{\pi}{4} $ является табличным: $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Следовательно, $ \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $

4) Для вычисления $ \cos(-\frac{4\pi}{3}) $ сначала воспользуемся свойством четности функции косинус: $ \cos(-x) = \cos(x) $.
$ \cos(-\frac{4\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3}) $.
Теперь применим формулы приведения. Угол $ \frac{4\pi}{3} $ находится в третьей координатной четверти. Косинус в этой четверти имеет отрицательный знак. Представим угол $ \frac{4\pi}{3} $ как сумму $ \pi + \frac{\pi}{3} $.
Используя формулу приведения $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha) $, получаем:
$ \cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) $.
Значение косинуса $ \frac{\pi}{3} $ является табличным: $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $.
Следовательно, $ \cos(-\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $