Страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Какие формулы называют формулами сложения? Запишите их.

Формулами сложения в тригонометрии называют формулы, которые выражают тригонометрические функции суммы или разности двух углов (аргументов, например, $\alpha$ и $\beta$) через тригонометрические функции каждого из этих углов. Эти формулы являются фундаментальными в тригонометрии.

Синус суммы и разности:

$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$

$sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$

Косинус суммы и разности:

$cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$

$cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$

Тангенс суммы и разности:

$tan(\alpha + \beta) = \frac{tan(\alpha) + tan(\beta)}{1 - tan(\alpha)tan(\beta)}$

$tan(\alpha - \beta) = \frac{tan(\alpha) - tan(\beta)}{1 + tan(\alpha)tan(\beta)}$

Котангенс суммы и разности:

$cot(\alpha + \beta) = \frac{cot(\alpha)cot(\beta) - 1}{cot(\beta) + cot(\alpha)}$

$cot(\alpha - \beta) = \frac{cot(\alpha)cot(\beta) + 1}{cot(\beta) - cot(\alpha)}$

Ответ: Формулами сложения называют формулы, выражающие тригонометрические функции суммы или разности двух углов через тригонометрические функции этих углов. К ним относятся: $sin(\alpha \pm \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) \pm cos(\alpha)sin(\beta)$; $cos(\alpha \pm \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) \mp sin(\alpha)sin(\beta)$; $tan(\alpha \pm \beta) = \frac{tan(\alpha) \pm tan(\beta)}{1 \mp tan(\alpha)tan(\beta)}$; $cot(\alpha \pm \beta) = \frac{cot(\alpha)cot(\beta) \mp 1}{cot(\beta) \pm cot(\alpha)}$.

24.1. Упростите выражение:

1) $ \sin \alpha \cos 4\alpha + \cos \alpha \sin 4\alpha; $

2) $ \cos \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} - \sin \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8}; $

3) $ \sin \alpha \sin (\alpha + \beta) + \cos \alpha \cos (\alpha + \beta); $

4) $ \sin 53^\circ \cos 7^\circ - \cos 53^\circ \sin (-7^\circ); $

5) $ \cos(\alpha + \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta. $

1) Данное выражение соответствует формуле синуса суммы: $sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B$.
В нашем случае $A = \alpha$ и $B = 4\alpha$.
$sin \alpha cos 4\alpha + cos \alpha sin 4\alpha = sin(\alpha + 4\alpha) = sin(5\alpha)$.
Ответ: $sin(5\alpha)$

2) Данное выражение соответствует формуле косинуса суммы: $cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B$.
В нашем случае $A = \frac{3\pi}{8}$ и $B = \frac{\pi}{8}$.
$cos\frac{3\pi}{8}cos\frac{\pi}{8} - sin\frac{3\pi}{8}sin\frac{\pi}{8} = cos(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}) = cos(\frac{4\pi}{8}) = cos(\frac{\pi}{2})$.
Значение $cos(\frac{\pi}{2})$ равно 0.
Ответ: 0

3) Данное выражение соответствует формуле косинуса разности: $cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B$.
Перепишем выражение: $cos \alpha cos(\alpha + \beta) + sin \alpha sin(\alpha + \beta)$.
В нашем случае $A = \alpha$ и $B = \alpha + \beta$.
$cos(\alpha - (\alpha + \beta)) = cos(\alpha - \alpha - \beta) = cos(-\beta)$.
Так как функция косинус четная ($cos(-x) = cos(x)$), то $cos(-\beta) = cos(\beta)$.
Ответ: $cos(\beta)$

4) Используем свойство нечетности синуса: $sin(-x) = -sin(x)$.
Выражение $sin 53^\circ cos 7^\circ - cos 53^\circ sin(-7^\circ)$ преобразуется в $sin 53^\circ cos 7^\circ - cos 53^\circ (-sin 7^\circ) = sin 53^\circ cos 7^\circ + cos 53^\circ sin 7^\circ$.
Это формула синуса суммы $sin(A + B)$, где $A = 53^\circ$ и $B = 7^\circ$.
$sin(53^\circ + 7^\circ) = sin(60^\circ)$.
$sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

5) Раскроем $cos(\alpha + \beta)$ по формуле косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta$.
Подставим это в исходное выражение:
$(cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta) + 2sin \alpha sin \beta = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$.
Полученное выражение является формулой косинуса разности $cos(\alpha - \beta)$.
Ответ: $cos(\alpha - \beta)$

24.2. Упростите выражение:

1) $ \cos 6\alpha \cos 2\alpha - \sin 6\alpha \sin 2\alpha $;

2) $ \sin (-15^\circ) \cos 75^\circ + \cos 15^\circ \sin 75^\circ $;

3) $ \frac{\cos 64^\circ \cos 4^\circ + \sin 64^\circ \sin 4^\circ}{\sin 19^\circ \cos 41^\circ + \sin 41^\circ \cos 19^\circ} $;

4) $ \cos (\alpha - \beta) - 2\sin \alpha \sin \beta $.

1) Данное выражение $cos 6\alpha cos 2\alpha - sin 6\alpha sin 2\alpha$ соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$.

В нашем случае $x = 6\alpha$ и $y = 2\alpha$.

Применяя формулу, получаем:

$cos 6\alpha cos 2\alpha - sin 6\alpha sin 2\alpha = cos(6\alpha + 2\alpha) = cos(8\alpha)$

Ответ: $cos(8\alpha)$

2) Рассмотрим выражение $sin(-15^\circ)cos75^\circ + cos15^\circ sin75^\circ$.

Используем свойство нечетности функции синус: $sin(-x) = -sin(x)$. Таким образом, $sin(-15^\circ) = -sin(15^\circ)$.

Подставим это в исходное выражение:

$-sin15^\circ cos75^\circ + cos15^\circ sin75^\circ = sin75^\circ cos15^\circ - cos75^\circ sin15^\circ$

Это выражение соответствует формуле синуса разности двух углов: $sin(x-y) = sin x cos y - cos x sin y$.

Здесь $x = 75^\circ$ и $y = 15^\circ$.

$sin(75^\circ - 15^\circ) = sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) Упростим числитель и знаменатель дроби $\frac{cos64^\circ cos4^\circ + sin64^\circ sin4^\circ}{sin19^\circ cos41^\circ + sin41^\circ cos19^\circ}$ по отдельности.

Числитель $cos64^\circ cos4^\circ + sin64^\circ sin4^\circ$ соответствует формуле косинуса разности: $cos(x-y) = cos x cos y + sin x sin y$.

При $x=64^\circ$ и $y=4^\circ$, получаем $cos(64^\circ - 4^\circ) = cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Знаменатель $sin19^\circ cos41^\circ + sin41^\circ cos19^\circ$ соответствует формуле синуса суммы: $sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$.

При $x=19^\circ$ и $y=41^\circ$, получаем $sin(19^\circ + 41^\circ) = sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь разделим значение числителя на значение знаменателя:

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

4) Упростим выражение $cos(\alpha - \beta) - 2sin\alpha sin\beta$.

Раскроем $cos(\alpha - \beta)$ по формуле косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$.

Подставим это в исходное выражение:

$(cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta) - 2sin\alpha sin\beta$

Приведем подобные слагаемые:

$cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta - 2sin\alpha sin\beta = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$

Полученное выражение является формулой косинуса суммы: $cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta = cos(\alpha + \beta)$.

Ответ: $cos(\alpha + \beta)$

24.3. Упростите выражение:

1) $\frac{\tan 1^\circ - \tan 46^\circ}{1 + \tan 1^\circ \tan 46^\circ};$

2) $\frac{1 - \tan 27^\circ \tan 33^\circ}{\tan 27^\circ + \tan 33^\circ}.$

1) Данное выражение имеет вид формулы тангенса разности двух углов:
$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$
В нашем случае $\alpha = 1^\circ$ и $\beta = 46^\circ$.
Подставим эти значения в формулу:
$\frac{\text{tg}1^\circ - \text{tg}46^\circ}{1 + \text{tg}1^\circ \text{tg}46^\circ} = \text{tg}(1^\circ - 46^\circ) = \text{tg}(-45^\circ)$
Так как тангенс — нечетная функция, то $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$.
Следовательно, $\text{tg}(-45^\circ) = -\text{tg}(45^\circ) = -1$.
Ответ: -1

2) Данное выражение является обратным к формуле тангенса суммы двух углов.
Формула тангенса суммы:
$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$
Наше выражение:
$\frac{1 - \text{tg}27^\circ \text{tg}33^\circ}{\text{tg}27^\circ + \text{tg}33^\circ} = \frac{1}{\frac{\text{tg}27^\circ + \text{tg}33^\circ}{1 - \text{tg}27^\circ \text{tg}33^\circ}}$
Это выражение равно $\frac{1}{\text{tg}(27^\circ + 33^\circ)}$, что является котангенсом суммы: $\text{ctg}(27^\circ + 33^\circ)$.
Вычислим сумму углов: $27^\circ + 33^\circ = 60^\circ$.
Таким образом, выражение упрощается до $\text{ctg}(60^\circ)$.
Значение котангенса $60^\circ$ равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$, или, избавившись от иррациональности в знаменателе, $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

24.4. Упростите выражение:

1) $\frac{\operatorname{tg} 24^{\circ}+\operatorname{tg} 36^{\circ}}{1-\operatorname{tg} 24^{\circ} \operatorname{tg} 36^{\circ}}$

2) $\frac{\operatorname{tg} 5 \alpha-\operatorname{tg} 3 \alpha}{1+\operatorname{tg} 5 \alpha \operatorname{tg} 3 \alpha}$

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:
$\operatorname{tg}(A + B) = \frac{\operatorname{tg}A + \operatorname{tg}B}{1 - \operatorname{tg}A \operatorname{tg}B}$.
Выражение $\frac{\operatorname{tg}24^{\circ} + \operatorname{tg}36^{\circ}}{1 - \operatorname{tg}24^{\circ} \operatorname{tg}36^{\circ}}$ соответствует правой части этой формулы, где $A = 24^{\circ}$ и $B = 36^{\circ}$.
Следовательно, мы можем "свернуть" выражение по этой формуле:
$\frac{\operatorname{tg}24^{\circ} + \operatorname{tg}36^{\circ}}{1 - \operatorname{tg}24^{\circ} \operatorname{tg}36^{\circ}} = \operatorname{tg}(24^{\circ} + 36^{\circ})$.
Вычислим сумму углов:
$24^{\circ} + 36^{\circ} = 60^{\circ}$.
Таким образом, исходное выражение равно $\operatorname{tg}(60^{\circ})$.
Это табличное значение: $\operatorname{tg}(60^{\circ}) = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

2) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:
$\operatorname{tg}(A - B) = \frac{\operatorname{tg}A - \operatorname{tg}B}{1 + \operatorname{tg}A \operatorname{tg}B}$.
Выражение $\frac{\operatorname{tg}5\alpha - \operatorname{tg}3\alpha}{1 + \operatorname{tg}5\alpha \operatorname{tg}3\alpha}$ соответствует правой части этой формулы, где $A = 5\alpha$ и $B = 3\alpha$.
Применим формулу для упрощения:
$\frac{\operatorname{tg}5\alpha - \operatorname{tg}3\alpha}{1 + \operatorname{tg}5\alpha \operatorname{tg}3\alpha} = \operatorname{tg}(5\alpha - 3\alpha)$.
Выполним вычитание в скобках:
$5\alpha - 3\alpha = 2\alpha$.
Следовательно, итоговое упрощенное выражение равно $\operatorname{tg}(2\alpha)$.
Ответ: $\operatorname{tg}(2\alpha)$.