Страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?

2. Какое тождество связывает тангенс и косинус одного и того же аргумента? Для каких значений аргумента верно это тождество?

3. Какое тождество связывает котангенс и синус одного и того же аргумента? Для каких значений аргумента верно это тождество?

4. Какое тождество связывает тангенс и котангенс одного и того же аргумента? Для каких значений аргумента верно это тождество?

1. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?
Основным тригонометрическим тождеством называют равенство, которое связывает синус и косинус одного и того же аргумента. Оно гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса любого угла всегда равна единице. Это тождество является прямым следствием теоремы Пифагора, примененной к единичной окружности. Формула основного тригонометрического тождества:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
Данное равенство справедливо для любого значения аргумента $\alpha$.
Ответ: Равенство $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

2. Какое тождество связывает тангенс и косинус одного и того же аргумента? Для каких значений аргумента верно это тождество?
Тангенс и косинус одного и того же аргумента $\alpha$ связаны тождеством, которое выводится из основного тригонометрического тождества. Для его получения необходимо разделить обе части равенства $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ на $\cos^2\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$):
$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha}$
Поскольку $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, тождество принимает следующий вид:
$1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$
Это тождество верно для всех значений аргумента $\alpha$, при которых тангенс определён, то есть при которых знаменатель (косинус) не равен нулю. Таким образом, условие верности тождества: $\cos\alpha \neq 0$, что соответствует всем углам, кроме $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: Тождество $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$, которое верно при $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

3. Какое тождество связывает котангенс и синус одного и того же аргумента? Для каких значений аргумента верно это тождество?
Котангенс и синус одного и того же аргумента $\alpha$ связаны тождеством, которое также является следствием основного тригонометрического тождества. Для его вывода нужно разделить обе части равенства $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ на $\sin^2\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$):
$\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{1}{\sin^2\alpha}$
Поскольку $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, тождество принимает следующий вид:
$1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$
Это тождество верно для всех значений аргумента $\alpha$, при которых котангенс определён, то есть при которых его знаменатель (синус) не равен нулю. Таким образом, условие верности тождества: $\sin\alpha \neq 0$, что соответствует всем углам, кроме $\alpha = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: Тождество $1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$, которое верно при $\alpha \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

4. Какое тождество связывает тангенс и котангенс одного и того же аргумента? Для каких значений аргумента верно это тождество?
Тангенс и котангенс одного и того же аргумента $\alpha$ связаны тождеством, вытекающим из их определений: $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. При перемножении этих двух выражений синусы и косинусы сокращаются:
$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 1$
Следовательно, искомое тождество:
$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$
Это тождество верно только для тех значений аргумента $\alpha$, для которых существуют (определены) и тангенс, и котангенс. Это требует, чтобы и $\cos\alpha \neq 0$ (для существования тангенса), и $\sin\alpha \neq 0$ (для существования котангенса). Оба условия выполняются, если угол $\alpha$ не является кратным $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, тождество верно при $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: Тождество $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$, которое верно при $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

23.1. Упростите выражение:

1) $(1 + \tan \alpha)^2 + (1 - \tan \alpha)^2;$

2) $\sin^4 \alpha + 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha;$

3) $\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha};$

4) $\frac{\cot \alpha}{\tan \alpha + \cot \alpha};$

5) $\frac{1 - \cot \gamma}{1 - \tan \gamma};$

6) $\cos^4 \alpha - \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha;$

7) $\sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha;$

8) $\cos(-\alpha) + \cos \alpha \tan^2(-\alpha).$

1) $(1 + \text{tg}\alpha)^2 + (1 - \text{tg}\alpha)^2$

Для упрощения этого выражения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения для квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$(1 + \text{tg}\alpha)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \text{tg}\alpha + \text{tg}^2\alpha = 1 + 2\text{tg}\alpha + \text{tg}^2\alpha$.

$(1 - \text{tg}\alpha)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \text{tg}\alpha + \text{tg}^2\alpha = 1 - 2\text{tg}\alpha + \text{tg}^2\alpha$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(1 + 2\text{tg}\alpha + \text{tg}^2\alpha) + (1 - 2\text{tg}\alpha + \text{tg}^2\alpha) = 1 + 1 + 2\text{tg}\alpha - 2\text{tg}\alpha + \text{tg}^2\alpha + \text{tg}^2\alpha = 2 + 2\text{tg}^2\alpha$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(1 + \text{tg}^2\alpha)$.

Используя тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$, получаем:

$2 \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{2}{\cos^2\alpha}$.

Ответ: $\frac{2}{\cos^2\alpha}$.

2) $\sin^4\alpha + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha$

Данное выражение является полным квадратом суммы, который соответствует формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. В нашем случае $a = \sin^2\alpha$ и $b = \cos^2\alpha$.

Свернем выражение по этой формуле:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Подставим это значение в выражение:

$(1)^2 = 1$.

Ответ: 1.

3) $\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} + \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю, которым является произведение их знаменателей: $(1+\cos\alpha)\sin\alpha$.

$\frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha}{(1+\cos\alpha)\sin\alpha} + \frac{(1+\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}{(1+\cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + (1+\cos\alpha)^2}{(1+\cos\alpha)\sin\alpha}$.

Раскроем квадрат суммы в числителе:

$\frac{\sin^2\alpha + 1 + 2\cos\alpha + \cos^2\alpha}{(1+\cos\alpha)\sin\alpha}$.

Сгруппируем $\sin^2\alpha$ и $\cos^2\alpha$ и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\frac{(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 1 + 2\cos\alpha}{(1+\cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{1 + 1 + 2\cos\alpha}{(1+\cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{2+2\cos\alpha}{(1+\cos\alpha)\sin\alpha}$.

Вынесем в числителе общий множитель 2:

$\frac{2(1+\cos\alpha)}{(1+\cos\alpha)\sin\alpha}$.

Сократим дробь на общий множитель $(1+\cos\alpha)$:

$\frac{2}{\sin\alpha}$.

Ответ: $\frac{2}{\sin\alpha}$.

4) $\frac{\text{ctg}\alpha}{\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha}$

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

$\frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}$.

Упростим знаменатель, приведя дроби к общему знаменателю $\sin\alpha\cos\alpha$:

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.

Подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{1}$.

Сократим $\sin\alpha$ в числителе и знаменателе:

$\cos\alpha \cdot \cos\alpha = \cos^2\alpha$.

Ответ: $\cos^2\alpha$.

5) $\frac{1-\text{ctg}\gamma}{1-\text{tg}\gamma}$

Используем тождество $\text{ctg}\gamma = \frac{1}{\text{tg}\gamma}$ и подставим его в числитель:

$\frac{1-\frac{1}{\text{tg}\gamma}}{1-\text{tg}\gamma} = \frac{\frac{\text{tg}\gamma - 1}{\text{tg}\gamma}}{1-\text{tg}\gamma}$.

Заметим, что $\text{tg}\gamma - 1 = -(1-\text{tg}\gamma)$. Подставим это в числитель:

$\frac{\frac{-(1-\text{tg}\gamma)}{\text{tg}\gamma}}{1-\text{tg}\gamma} = \frac{-(1-\text{tg}\gamma)}{\text{tg}\gamma} \cdot \frac{1}{1-\text{tg}\gamma}$.

Сократим на $(1-\text{tg}\gamma)$:

$-\frac{1}{\text{tg}\gamma} = -\text{ctg}\gamma$.

Ответ: $-\text{ctg}\gamma$.

6) $\cos^4\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha$

Вынесем $\sin^2\alpha$ за скобку, используя тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.

$\cos^4\alpha - \cos^2\alpha + (1 - \cos^2\alpha) = \cos^4\alpha - 2\cos^2\alpha + 1$.

Полученное выражение является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, где $a=\cos^2\alpha$ и $b=1$.

$(\cos^2\alpha - 1)^2$.

Из основного тригонометрического тождества $\cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha$.

$(-\sin^2\alpha)^2 = \sin^4\alpha$.

Ответ: $\sin^4\alpha$.

7) $\sin^4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^2\alpha$

Вынесем общий множитель $\sin^2\alpha$ из первых двух слагаемых:

$\sin^2\alpha(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + \cos^2\alpha$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\sin^2\alpha \cdot 1 + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$.

И снова, по основному тригонометрическому тождеству:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Ответ: 1.

8) $\cos(-\alpha) + \cos\alpha\text{tg}^2(-\alpha)$

Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций.

Косинус — четная функция: $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$.

Тангенс — нечетная функция: $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}\alpha$. Тогда $\text{tg}^2(-\alpha) = (-\text{tg}\alpha)^2 = \text{tg}^2\alpha$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\cos\alpha + \cos\alpha\text{tg}^2\alpha$.

Вынесем общий множитель $\cos\alpha$ за скобки:

$\cos\alpha(1 + \text{tg}^2\alpha)$.

Используем тождество $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$:

$\cos\alpha \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\cos^2\alpha}$.

Сократим дробь на $\cos\alpha$:

$\frac{1}{\cos\alpha}$.

Ответ: $\frac{1}{\cos\alpha}$.