Страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.2. Упростите выражение:

1) $(1 + \text{ctg}\beta)^2 + (1 - \text{ctg}\beta)^2;$

2) $\sin^2 \alpha \cos^2\alpha (\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha + 2);$

3) $\frac{\cos\beta}{1 - \sin\beta} + \frac{1 - \sin\beta}{\cos\beta};$

4) $\frac{\text{tg}^2\alpha}{1 + \text{tg}^2\alpha} \cdot \frac{1 + \text{ctg}^2\alpha}{\text{ctg}^2\alpha};$

5) $\cos^4\alpha + \sin^2\alpha \cos^2\alpha - \cos^2\alpha - 1;$

6) $\text{tg}(-\alpha)\text{ctg}\alpha + \sin^2(-\alpha).$

1) Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$: $(1 + \operatorname{ctg}\beta)^2 + (1 - \operatorname{ctg}\beta)^2 = (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \operatorname{ctg}\beta + \operatorname{ctg}^2\beta) + (1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \operatorname{ctg}\beta + \operatorname{ctg}^2\beta) = 1 + 2\operatorname{ctg}\beta + \operatorname{ctg}^2\beta + 1 - 2\operatorname{ctg}\beta + \operatorname{ctg}^2\beta$. Приведем подобные слагаемые: $2 + 2\operatorname{ctg}^2\beta$. Вынесем общий множитель за скобки: $2(1 + \operatorname{ctg}^2\beta)$. Используя основное тригонометрическое тождество $1 + \operatorname{ctg}^2\beta = \frac{1}{\sin^2\beta}$, получаем: $2 \cdot \frac{1}{\sin^2\beta} = \frac{2}{\sin^2\beta}$. Ответ: $\frac{2}{\sin^2\beta}$

2) Сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что $\operatorname{tg}^2\alpha + \operatorname{ctg}^2\alpha + 2$ является полным квадратом, так как $2 = 2 \cdot 1 = 2 \cdot \operatorname{tg}\alpha \operatorname{ctg}\alpha$. Таким образом, $\operatorname{tg}^2\alpha + \operatorname{ctg}^2\alpha + 2 = (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha)^2$. Преобразуем сумму тангенса и котангенса: $\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$. Тогда $(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha)^2 = \left(\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}$. Подставим это в исходное выражение: $\sin^2\alpha \cos^2\alpha \cdot \frac{1}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = 1$. Ответ: $1$

3) Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - \sin\beta)\cos\beta$: $\frac{\cos\beta}{1 - \sin\beta} + \frac{1 - \sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\cos\beta \cdot \cos\beta + (1 - \sin\beta)(1 - \sin\beta)}{(1 - \sin\beta)\cos\beta} = \frac{\cos^2\beta + (1 - \sin\beta)^2}{(1 - \sin\beta)\cos\beta}$. Раскроем квадрат разности в числителе: $\frac{\cos^2\beta + 1 - 2\sin\beta + \sin^2\beta}{(1 - \sin\beta)\cos\beta}$. Сгруппируем слагаемые в числителе и используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$: $\frac{(\sin^2\beta + \cos^2\beta) + 1 - 2\sin\beta}{(1 - \sin\beta)\cos\beta} = \frac{1 + 1 - 2\sin\beta}{(1 - \sin\beta)\cos\beta} = \frac{2 - 2\sin\beta}{(1 - \sin\beta)\cos\beta}$. Вынесем 2 за скобки в числителе и сократим дробь: $\frac{2(1 - \sin\beta)}{(1 - \sin\beta)\cos\beta} = \frac{2}{\cos\beta}$. Ответ: $\frac{2}{\cos\beta}$

4) Воспользуемся тригонометрическими тождествами: $1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ и $1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$. Подставим их в выражение: $\frac{\operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} \cdot \frac{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{tg}^2\alpha}{1/\cos^2\alpha} \cdot \frac{1/\sin^2\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha}$. Упростим каждую дробь отдельно. Первая дробь: $\operatorname{tg}^2\alpha \cdot \cos^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$. Вторая дробь: $\frac{1}{\sin^2\alpha \cdot \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{1}{\sin^2\alpha \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{1}{\cos^2\alpha}$. Перемножим полученные выражения: $\sin^2\alpha \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \operatorname{tg}^2\alpha$. Ответ: $\operatorname{tg}^2\alpha$

5) Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $\cos^2\alpha$: $\cos^4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha - \cos^2\alpha - 1 = \cos^2\alpha(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) - \cos^2\alpha - 1$. Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$: $\cos^2\alpha \cdot 1 - \cos^2\alpha - 1 = \cos^2\alpha - \cos^2\alpha - 1 = -1$. Ответ: $-1$

6) Используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$ (тангенс - нечетная функция) и $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ (синус - нечетная функция). Выражение примет вид: $(-\operatorname{tg}\alpha)\operatorname{ctg}\alpha + (-\sin\alpha)^2$. Так как $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$, то первое слагаемое равно $-1$. Второе слагаемое $(-\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha$. Получаем выражение: $-1 + \sin^2\alpha$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$. Ответ: $-\cos^2\alpha$

23.3. Найдите значения тригонометрических функций аргумента $\alpha$, если:

1) $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$;

2) $\sin \alpha = 0,6$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

3) $\operatorname{tg} \alpha = 2$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

4) $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{4}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

1) Дано $cos α = \frac{1}{2}$.
Поскольку четверть, в которой находится угол `α`, не указана, рассмотрим два возможных случая. Косинус положителен в I и IV четвертях.
Используем основное тригонометрическое тождество $sin² α + cos² α = 1$.
$sin² α = 1 - cos² α = 1 - (\frac{1}{2})² = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Отсюда $sin α = ±\sqrt{\frac{3}{4}} = ±\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Найдем тангенс и котангенс:
$tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{±\sqrt{3}/2}{1/2} = ±\sqrt{3}$.
$ctg α = \frac{1}{tg α} = \frac{1}{±\sqrt{3}} = ±\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Таким образом, возможны два набора значений:
Случай 1: `α` в I четверти.
$sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $tg α = \sqrt{3}$, $ctg α = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Случай 2: `α` в IV четверти.
$sin α = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $tg α = -\sqrt{3}$, $ctg α = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $sin α = ±\frac{\sqrt{3}}{2}$, $tg α = ±\sqrt{3}$, $ctg α = ±\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2) Дано $sin α = 0,6$ и $\frac{π}{2} < α < π$.
Угол `α` находится во II четверти. В этой четверти $sin α > 0$, а $cos α < 0$, $tg α < 0$, $ctg α < 0$.
Представим $sin α$ в виде дроби: $sin α = 0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Используем основное тригонометрическое тождество $sin² α + cos² α = 1$.
$cos² α = 1 - sin² α = 1 - (\frac{3}{5})² = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
$cos α = ±\sqrt{\frac{16}{25}} = ±\frac{4}{5}$.
Так как `α` во II четверти, $cos α$ отрицателен: $cos α = -\frac{4}{5} = -0,8$.
Теперь найдем тангенс и котангенс:
$tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4} = -0,75$.
$ctg α = \frac{1}{tg α} = \frac{1}{-3/4} = -\frac{4}{3}$.
Ответ: $cos α = -0,8$, $tg α = -0,75$, $ctg α = -\frac{4}{3}$.

3) Дано $tg α = 2$ и $π < α < \frac{3π}{2}$.
Угол `α` находится в III четверти. В этой четверти $sin α < 0$, $cos α < 0$, а $tg α > 0$ и $ctg α > 0$.
Сначала найдем $ctg α$:
$ctg α = \frac{1}{tg α} = \frac{1}{2}$.
Используем тождество $1 + tg² α = \frac{1}{cos² α}$.
$cos² α = \frac{1}{1 + tg² α} = \frac{1}{1 + 2²} = \frac{1}{5}$.
$cos α = ±\sqrt{\frac{1}{5}} = ±\frac{1}{\sqrt{5}} = ±\frac{\sqrt{5}}{5}$.
Так как `α` в III четверти, $cos α$ отрицателен: $cos α = -\frac{\sqrt{5}}{5}$.
Теперь найдем $sin α$ из определения тангенса $tg α = \frac{sin α}{cos α}$:
$sin α = tg α \cdot cos α = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{5}}{5}) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $sin α = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$, $cos α = -\frac{\sqrt{5}}{5}$, $ctg α = \frac{1}{2}$.

4) Дано $ctg α = -\frac{4}{3}$ и $\frac{3π}{2} < α < 2π$.
Угол `α` находится в IV четверти. В этой четверти $cos α > 0$, а $sin α < 0$, $tg α < 0$, $ctg α < 0$.
Сначала найдем $tg α$:
$tg α = \frac{1}{ctg α} = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4}$.
Используем тождество $1 + ctg² α = \frac{1}{sin² α}$.
$sin² α = \frac{1}{1 + ctg² α} = \frac{1}{1 + (-\frac{4}{3})²} = \frac{1}{1 + \frac{16}{9}} = \frac{1}{\frac{25}{9}} = \frac{9}{25}$.
$sin α = ±\sqrt{\frac{9}{25}} = ±\frac{3}{5}$.
Так как `α` в IV четверти, $sin α$ отрицателен: $sin α = -\frac{3}{5}$.
Теперь найдем $cos α$ из определения котангенса $ctg α = \frac{cos α}{sin α}$:
$cos α = ctg α \cdot sin α = (-\frac{4}{3}) \cdot (-\frac{3}{5}) = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $sin α = -\frac{3}{5}$, $cos α = \frac{4}{5}$, $tg α = -\frac{3}{4}$.

23.4. Найдите значения тригонометрических функций аргумента $\alpha$, если:

1) $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

2) $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{4}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

3) $\text{tg } \alpha = -\frac{1}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$;

4) $\text{ctg } \alpha = -7$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

1) Дано: $ \cos \alpha = \frac{12}{13} $ и $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $.
Угол $ \alpha $ находится в I четверти, где все тригонометрические функции положительны.
Найдем $ \sin \alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $.
Так как $ \alpha $ в I четверти, $ \sin \alpha > 0 $, поэтому $ \sin \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} $.
Найдем $ \text{tg} \, \alpha $ и $ \text{ctg} \, \alpha $:
$ \text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12} $.
$ \text{ctg} \, \alpha = \frac{1}{\text{tg} \, \alpha} = \frac{1}{5/12} = \frac{12}{5} $.

Ответ: $ \sin \alpha = \frac{5}{13}, \text{tg} \, \alpha = \frac{5}{12}, \text{ctg} \, \alpha = \frac{12}{5} $.

2) Дано: $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{4} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.
Угол $ \alpha $ находится в III четверти, где синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.
Найдем $ \cos \alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{\sqrt{3}}{4})^2 = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16} $.
Так как $ \alpha $ в III четверти, $ \cos \alpha < 0 $, поэтому $ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{13}{16}} = -\frac{\sqrt{13}}{4} $.
Найдем $ \text{tg} \, \alpha $ и $ \text{ctg} \, \alpha $:
$ \text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\sqrt{3}/4}{-\sqrt{13}/4} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{39}}{13} $.
$ \text{ctg} \, \alpha = \frac{1}{\text{tg} \, \alpha} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{39}}{3} $.

Ответ: $ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{13}}{4}, \text{tg} \, \alpha = \frac{\sqrt{39}}{13}, \text{ctg} \, \alpha = \frac{\sqrt{39}}{3} $.

3) Дано: $ \text{tg} \, \alpha = -\frac{1}{3} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.
Угол $ \alpha $ находится в IV четверти, где косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс отрицательны.
Найдем $ \text{ctg} \, \alpha $:
$ \text{ctg} \, \alpha = \frac{1}{\text{tg} \, \alpha} = \frac{1}{-1/3} = -3 $.
Найдем $ \cos \alpha $ из тождества $ 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $.
$ \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + (-\frac{1}{3})^2 = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9} $.
$ \cos^2 \alpha = \frac{9}{10} $.
Так как $ \alpha $ в IV четверти, $ \cos \alpha > 0 $, поэтому $ \cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} $.
Найдем $ \sin \alpha $ из формулы $ \text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \implies \sin \alpha = \text{tg} \, \alpha \cdot \cos \alpha $.
$ \sin \alpha = (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} = -\frac{\sqrt{10}}{10} $.

Ответ: $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}, \cos \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}, \text{ctg} \, \alpha = -3 $.

4) Дано: $ \text{ctg} \, \alpha = -7 $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.
Угол $ \alpha $ находится во II четверти, где синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.
Найдем $ \text{tg} \, \alpha $:
$ \text{tg} \, \alpha = \frac{1}{\text{ctg} \, \alpha} = -\frac{1}{7} $.
Найдем $ \sin \alpha $ из тождества $ 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $.
$ \frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + (-7)^2 = 1 + 49 = 50 $.
$ \sin^2 \alpha = \frac{1}{50} $.
Так как $ \alpha $ во II четверти, $ \sin \alpha > 0 $, поэтому $ \sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10} $.
Найдем $ \cos \alpha $ из формулы $ \text{ctg} \, \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \implies \cos \alpha = \text{ctg} \, \alpha \cdot \sin \alpha $.
$ \cos \alpha = (-7) \cdot \frac{\sqrt{2}}{10} = -\frac{7\sqrt{2}}{10} $.

Ответ: $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{10}, \cos \alpha = -\frac{7\sqrt{2}}{10}, \text{tg} \, \alpha = -\frac{1}{7} $.

23.5. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} = \cos \alpha - \sin \alpha;$

2) $\frac{\sqrt{3} - 2\sin \alpha}{2\cos \alpha - 1} = \frac{1 + 2\cos \alpha}{2\sin \alpha + \sqrt{3}};$

3) $\frac{\sin \alpha + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha;$

4) $\frac{\sin^2 \alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \operatorname{tg}^4 \alpha.$

1)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для числителя:

$\frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos^2 \alpha + \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha)}{1 + \sin \alpha \cos \alpha}$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ в числителе:

$\frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)((\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + \cos \alpha \sin \alpha)}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)}{1 + \sin \alpha \cos \alpha}$

Сократим дробь на общий множитель $(1 + \sin \alpha \cos \alpha)$:

$\cos \alpha - \sin \alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Докажем тождество, используя свойство пропорции (перекрестное умножение). Нам нужно доказать, что:

$(\sqrt{3} - 2\sin \alpha)(2\sin \alpha + \sqrt{3}) = (2\cos \alpha - 1)(1 + 2\cos \alpha)$

Преобразуем левую и правую части, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

Левая часть: $(\sqrt{3} - 2\sin \alpha)(\sqrt{3} + 2\sin \alpha) = (\sqrt{3})^2 - (2\sin \alpha)^2 = 3 - 4\sin^2 \alpha$

Правая часть: $(2\cos \alpha - 1)(2\cos \alpha + 1) = (2\cos \alpha)^2 - 1^2 = 4\cos^2 \alpha - 1$

Теперь докажем, что $3 - 4\sin^2 \alpha = 4\cos^2 \alpha - 1$. Преобразуем правую часть, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$:

$4(1 - \sin^2 \alpha) - 1 = 4 - 4\sin^2 \alpha - 1 = 3 - 4\sin^2 \alpha$

Получили, что $3 - 4\sin^2 \alpha = 3 - 4\sin^2 \alpha$. Равенство верно, следовательно, исходное тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Преобразуем левую часть равенства. Заменим $\tg \alpha$ на $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

$\frac{\sin \alpha + \tg \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 + \cos \alpha}$

Приведем к общему знаменателю в числителе и вынесем общий множитель $\sin \alpha$ за скобки:

$\frac{\frac{\sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 + \cos \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}{\cos \alpha}}{1 + \cos \alpha}$

Сократим дробь на $(1 + \cos \alpha)$:

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tg \alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Преобразуем левую часть равенства. Заменим $\ctg^2 \alpha$ на $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$:

$\frac{\sin^2 \alpha}{\ctg^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \cos^2 \alpha}$

Приведем к общему знаменателю в знаменателе дроби и вынесем общий множитель $\cos^2 \alpha$ за скобки:

$\frac{\sin^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \frac{\sin^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha}}$

Используем основное тригонометрическое тождество $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$:

$\frac{\sin^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \frac{\sin^2 \alpha}{\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}}$

Преобразуем многоэтажную дробь:

$\sin^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^4 \alpha} = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^4 \alpha} = (\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})^4 = \tg^4 \alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

23.6. Докажите тождество:

1) $\sin^4 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha;$

2) $(\text{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cdot \frac{\text{ctg}^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 1.$

1) Для доказательства тождества $ \sin^4\alpha \cos^2\alpha + \sin^2\alpha \cos^4\alpha = \sin^2\alpha \cos^2\alpha $ преобразуем его левую часть.
Вынесем за скобки общий множитель $ \sin^2\alpha \cos^2\alpha $:
$ \sin^4\alpha \cos^2\alpha + \sin^2\alpha \cos^4\alpha = \sin^2\alpha \cos^2\alpha (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) $.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
Подставим это значение в наше выражение:
$ \sin^2\alpha \cos^2\alpha \cdot 1 = \sin^2\alpha \cos^2\alpha $.
Мы получили, что левая часть тождества равна правой части: $ \sin^2\alpha \cos^2\alpha = \sin^2\alpha \cos^2\alpha $.
Следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $ (\text{tg}^2\alpha - \sin^2\alpha) \cdot \frac{\text{ctg}^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 1 $ преобразуем его левую часть.
Сначала преобразуем выражение в скобках, представив тангенс как отношение синуса к косинусу $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $:
$ \text{tg}^2\alpha - \sin^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \sin^2\alpha = \sin^2\alpha \left(\frac{1}{\cos^2\alpha} - 1\right) $.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$ \sin^2\alpha \left(\frac{1 - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right) $.
Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ следует, что $ 1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha $. Подставим это в числитель:
$ \sin^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha} $.
Теперь преобразуем второй множитель, представив котангенс как отношение косинуса к синусу $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $:
$ \frac{\text{ctg}^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}{\sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^4\alpha} $.
Перемножим полученные выражения:
$ \frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^4\alpha} = 1 $.
Мы получили, что левая часть тождества равна правой части: $ 1 = 1 $.
Следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

23.7. Докажите тождество:

1) $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - \sin^6 \alpha - \cos^6 \alpha = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha;$

2) $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha + 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1.$

1) Докажем тождество $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - \sin^6\alpha - \cos^6\alpha = \sin^2\alpha \cos^2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства. Сгруппируем слагаемые:

$(\sin^4\alpha - \sin^6\alpha) + (\cos^4\alpha - \cos^6\alpha)$

В каждой группе вынесем общий множитель за скобки:

$\sin^4\alpha(1 - \sin^2\alpha) + \cos^4\alpha(1 - \cos^2\alpha)$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$ и $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$. Подставим эти выражения:

$\sin^4\alpha \cdot \cos^2\alpha + \cos^4\alpha \cdot \sin^2\alpha$

Вынесем за скобки общий множитель $\sin^2\alpha \cos^2\alpha$:

$\sin^2\alpha \cos^2\alpha (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$

Снова применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\sin^2\alpha \cos^2\alpha \cdot 1 = \sin^2\alpha \cos^2\alpha$

Мы преобразовали левую часть тождества к правой. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha + 3\sin^2\alpha \cos^2\alpha = 1$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Возведем обе части этого тождества в третью степень (в куб):

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^3 = 1^3$

Раскроем левую часть, используя формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.

В нашем случае $a = \sin^2\alpha$ и $b = \cos^2\alpha$. Получаем:

$(\sin^2\alpha)^3 + (\cos^2\alpha)^3 + 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 1$

Упростим степени:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha + 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 1$

Так как мы знаем, что $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, подставим это значение в скобки:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha + 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha \cdot 1 = 1$

В результате получаем:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha + 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1$

Мы получили исходное выражение, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

23.8. Докажите тождество

$2(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha) - 3(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha) = -1.$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулы сокращенного умножения.

Обозначим левую часть выражения как $L$:

$L = 2(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha) - 3(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha)$

1. Упростим выражение $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, возведя его в квадрат:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 = 1^2$

Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sin^2\alpha)^2 + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + (\cos^2\alpha)^2 = 1$

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1$

Отсюда выразим искомую сумму:

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

2. Упростим выражение $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha$

Представим это выражение как сумму кубов $(\sin^2\alpha)^3 + (\cos^2\alpha)^3$ и применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)((\sin^2\alpha)^2 - \sin^2\alpha\cos^2\alpha + (\cos^2\alpha)^2)$

Поскольку $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = 1 \cdot (\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha)$

Теперь подставим сюда выражение для $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$, полученное в первом шаге:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - \sin^2\alpha\cos^2\alpha$

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = 1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

3. Подставим упрощенные выражения в исходное тождество

Теперь вернемся к исходному выражению $L$ и подставим в него найденные упрощенные формы:

$L = 2(1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - 3(1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha)$

Раскроем скобки:

$L = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 3 \cdot 1 - 3 \cdot (-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha)$

$L = 2 - 6\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 3 + 6\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Приведем подобные слагаемые. Члены $-6\sin^2\alpha\cos^2\alpha$ и $+6\sin^2\alpha\cos^2\alpha$ взаимно уничтожаются:

$L = 2 - 3 = -1$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна -1, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано, так как в результате преобразования левой части было получено значение -1.

23.9. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$, если $\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{3}$;

2) $\frac{2 \cos^2 \alpha - 7 \sin^2 \alpha}{3 \cos^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha}$, если $\operatorname{ctg} \alpha = -2$;

3) $\frac{8 \sin \alpha - 3 \cos \alpha}{\sin^3 \alpha + 5 \sin^2 \alpha \cos \alpha - 8 \cos^3 \alpha}$, если $\operatorname{tg} \alpha = -3$.

1) Дано выражение $\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}$ и известно, что $\text{tg}\alpha = \frac{1}{3}$.

Поскольку тангенс определен ($\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$), то $\cos\alpha \neq 0$. Это позволяет нам разделить и числитель, и знаменатель дроби на $\cos\alpha$:

$\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\text{tg}\alpha - 1}{\text{tg}\alpha + 1}$

Теперь подставим заданное значение $\text{tg}\alpha = \frac{1}{3}$ в полученное выражение:

$\frac{\frac{1}{3} - 1}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{\frac{1 - 3}{3}}{\frac{1 + 3}{3}} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

2) Дано выражение $\frac{2\cos^2\alpha - 7\sin^2\alpha}{3\cos^2\alpha + 4\sin\alpha\cos\alpha}$ и известно, что $\text{ctg}\alpha = -2$.

Поскольку котангенс определен ($\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$), то $\sin\alpha \neq 0$. Разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin^2\alpha$:

$\frac{2\cos^2\alpha - 7\sin^2\alpha}{3\cos^2\alpha + 4\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\frac{2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{7\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{3\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{4\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha}}$

Используя определение котангенса, преобразуем выражение:

$\frac{2(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^2 - 7}{3(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^2 + 4(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})} = \frac{2\text{ctg}^2\alpha - 7}{3\text{ctg}^2\alpha + 4\text{ctg}\alpha}$

Подставим заданное значение $\text{ctg}\alpha = -2$:

$\frac{2(-2)^2 - 7}{3(-2)^2 + 4(-2)} = \frac{2 \cdot 4 - 7}{3 \cdot 4 - 8} = \frac{8 - 7}{12 - 8} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

3) Дано выражение $\frac{8\sin\alpha - 3\cos\alpha}{\sin^3\alpha + 5\sin^2\alpha\cos\alpha - 8\cos^3\alpha}$ и известно, что $\text{tg}\alpha = -3$.

Из условия $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -3$ выразим $\sin\alpha$ через $\cos\alpha$:

$\sin\alpha = -3\cos\alpha$

Подставим это соотношение в числитель и знаменатель исходного выражения.

Числитель:

$8\sin\alpha - 3\cos\alpha = 8(-3\cos\alpha) - 3\cos\alpha = -24\cos\alpha - 3\cos\alpha = -27\cos\alpha$

Знаменатель:

$\sin^3\alpha + 5\sin^2\alpha\cos\alpha - 8\cos^3\alpha = (-3\cos\alpha)^3 + 5(-3\cos\alpha)^2\cos\alpha - 8\cos^3\alpha$

$= -27\cos^3\alpha + 5(9\cos^2\alpha)\cos\alpha - 8\cos^3\alpha = -27\cos^3\alpha + 45\cos^3\alpha - 8\cos^3\alpha$

$= (-27 + 45 - 8)\cos^3\alpha = 10\cos^3\alpha$

Теперь запишем дробь с преобразованными числителем и знаменателем:

$\frac{-27\cos\alpha}{10\cos^3\alpha} = \frac{-27}{10\cos^2\alpha}$

Для нахождения значения $\cos^2\alpha$ используем основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

$\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$

Отсюда следует, что $\cos^2\alpha = \frac{1}{10}$.

Подставим найденное значение $\cos^2\alpha$ в наше выражение:

$\frac{-27}{10 \cdot \frac{1}{10}} = \frac{-27}{1} = -27$

Ответ: $-27$