Номер 23.3, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.3. Найдите значения тригонометрических функций аргумента $\alpha$, если:

1) $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$;

2) $\sin \alpha = 0,6$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

3) $\operatorname{tg} \alpha = 2$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

4) $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{4}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

1) Дано $cos α = \frac{1}{2}$.
Поскольку четверть, в которой находится угол `α`, не указана, рассмотрим два возможных случая. Косинус положителен в I и IV четвертях.
Используем основное тригонометрическое тождество $sin² α + cos² α = 1$.
$sin² α = 1 - cos² α = 1 - (\frac{1}{2})² = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Отсюда $sin α = ±\sqrt{\frac{3}{4}} = ±\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Найдем тангенс и котангенс:
$tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{±\sqrt{3}/2}{1/2} = ±\sqrt{3}$.
$ctg α = \frac{1}{tg α} = \frac{1}{±\sqrt{3}} = ±\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Таким образом, возможны два набора значений:
Случай 1: `α` в I четверти.
$sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $tg α = \sqrt{3}$, $ctg α = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Случай 2: `α` в IV четверти.
$sin α = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $tg α = -\sqrt{3}$, $ctg α = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $sin α = ±\frac{\sqrt{3}}{2}$, $tg α = ±\sqrt{3}$, $ctg α = ±\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2) Дано $sin α = 0,6$ и $\frac{π}{2} < α < π$.
Угол `α` находится во II четверти. В этой четверти $sin α > 0$, а $cos α < 0$, $tg α < 0$, $ctg α < 0$.
Представим $sin α$ в виде дроби: $sin α = 0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Используем основное тригонометрическое тождество $sin² α + cos² α = 1$.
$cos² α = 1 - sin² α = 1 - (\frac{3}{5})² = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
$cos α = ±\sqrt{\frac{16}{25}} = ±\frac{4}{5}$.
Так как `α` во II четверти, $cos α$ отрицателен: $cos α = -\frac{4}{5} = -0,8$.
Теперь найдем тангенс и котангенс:
$tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4} = -0,75$.
$ctg α = \frac{1}{tg α} = \frac{1}{-3/4} = -\frac{4}{3}$.
Ответ: $cos α = -0,8$, $tg α = -0,75$, $ctg α = -\frac{4}{3}$.

3) Дано $tg α = 2$ и $π < α < \frac{3π}{2}$.
Угол `α` находится в III четверти. В этой четверти $sin α < 0$, $cos α < 0$, а $tg α > 0$ и $ctg α > 0$.
Сначала найдем $ctg α$:
$ctg α = \frac{1}{tg α} = \frac{1}{2}$.
Используем тождество $1 + tg² α = \frac{1}{cos² α}$.
$cos² α = \frac{1}{1 + tg² α} = \frac{1}{1 + 2²} = \frac{1}{5}$.
$cos α = ±\sqrt{\frac{1}{5}} = ±\frac{1}{\sqrt{5}} = ±\frac{\sqrt{5}}{5}$.
Так как `α` в III четверти, $cos α$ отрицателен: $cos α = -\frac{\sqrt{5}}{5}$.
Теперь найдем $sin α$ из определения тангенса $tg α = \frac{sin α}{cos α}$:
$sin α = tg α \cdot cos α = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{5}}{5}) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $sin α = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$, $cos α = -\frac{\sqrt{5}}{5}$, $ctg α = \frac{1}{2}$.

4) Дано $ctg α = -\frac{4}{3}$ и $\frac{3π}{2} < α < 2π$.
Угол `α` находится в IV четверти. В этой четверти $cos α > 0$, а $sin α < 0$, $tg α < 0$, $ctg α < 0$.
Сначала найдем $tg α$:
$tg α = \frac{1}{ctg α} = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4}$.
Используем тождество $1 + ctg² α = \frac{1}{sin² α}$.
$sin² α = \frac{1}{1 + ctg² α} = \frac{1}{1 + (-\frac{4}{3})²} = \frac{1}{1 + \frac{16}{9}} = \frac{1}{\frac{25}{9}} = \frac{9}{25}$.
$sin α = ±\sqrt{\frac{9}{25}} = ±\frac{3}{5}$.
Так как `α` в IV четверти, $sin α$ отрицателен: $sin α = -\frac{3}{5}$.
Теперь найдем $cos α$ из определения котангенса $ctg α = \frac{cos α}{sin α}$:
$cos α = ctg α \cdot sin α = (-\frac{4}{3}) \cdot (-\frac{3}{5}) = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $sin α = -\frac{3}{5}$, $cos α = \frac{4}{5}$, $tg α = -\frac{3}{4}$.