Номер 22.11, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.11. Постройте график уравнения:

1) $\frac{\text{tg } x}{\text{tg } y} = 0$;

2) $\text{tg } \pi(x - y) = 1$.

1) $\frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} y} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} \operatorname{tg} x = 0, \\ \operatorname{tg} y \neq 0. \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение: $\operatorname{tg} x = 0$.

Решением этого уравнения является $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Это множество вертикальных прямых.

Теперь рассмотрим второе условие: $\operatorname{tg} y \neq 0$.

Это означает, что $y \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Также необходимо учесть область определения (ОДЗ) тангенса:

• Для $\operatorname{tg} x$: $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$. Наши решения $x = \pi n$ удовлетворяют этому условию, так как $\cos(\pi n) = \pm 1 \neq 0$.
• Для $\operatorname{tg} y$: $\cos y \neq 0$, что означает $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi l, l \in \mathbb{Z}$.

Итак, графиком уравнения является множество вертикальных прямых $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, из которых нужно исключить точки, где не выполняются условия $\operatorname{tg} y \neq 0$ и $\cos y \neq 0$.

Точки, которые нужно исключить (выколоть), имеют ординаты:

• $y = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ (из условия $\operatorname{tg} y \neq 0$).
• $y = \frac{\pi}{2} + \pi l$, $l \in \mathbb{Z}$ (из ОДЗ для $\operatorname{tg} y$).

Объединяя эти два условия, получаем, что нужно исключить все точки с ординатами $y = \frac{\pi}{2} m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Графиком является семейство вертикальных прямых $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$, из которых выколоты точки $(\pi n, \frac{\pi}{2} m)$ для всех целых $n$ и $m$.

2) $\operatorname{tg}(\pi(x - y)) = 1$

Это тригонометрическое уравнение. Решение уравнения $\operatorname{tg} A = 1$ имеет вид $A = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $A = \pi(x - y)$. Подставляем и получаем:

$\pi(x - y) = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$x - y = \frac{1}{4} + n$.

Выразим $y$ через $x$:

$y = x - \frac{1}{4} - n$.

Поскольку $n$ — любое целое число, то $-n$ также является любым целым числом. Для удобства можно заменить $-n$ на $k$, где $k \in \mathbb{Z}$:

$y = x - \frac{1}{4} + k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это уравнение задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом 1.

Проверим область определения. Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$:

$\pi(x-y) \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$

$x-y \neq \frac{1}{2} + m$

Из нашего решения $x - y = \frac{1}{4} + n$. Сравнивая, получаем $\frac{1}{4} + n \neq \frac{1}{2} + m$, что равносильно $n-m \neq \frac{1}{4}$. Так как разность двух целых чисел $n-m$ всегда является целым числом, она никогда не может быть равна $\frac{1}{4}$. Следовательно, область определения не накладывает никаких дополнительных ограничений на найденное решение.

Ответ: Графиком является семейство параллельных прямых, заданных уравнением $y = x - \frac{1}{4} + k$, где $k \in \mathbb{Z}$.