Номер 22.6, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.6. Постройте график функции:

1) $y = 2\text{tg}\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) - \frac{1}{2}$

2) $y = \text{ctg}\left(3x - \frac{\pi}{12}\right)$

1) $y = 2\tan(x + \frac{2\pi}{3}) - \frac{1}{2}$

Для построения графика данной функции выполним последовательные преобразования графика основной функции $y = \tan(x)$.

Шаг 1: Построение основного графика $y_1 = \tan(x)$.
Это тангенсоида с периодом $T = \pi$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 2: Горизонтальный сдвиг.
Строим график функции $y_2 = \tan(x + \frac{2\pi}{3})$. Этот график получается из графика $y_1 = \tan(x)$ сдвигом влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{2\pi}{3}$. Асимптоты смещаются на $\frac{2\pi}{3}$ влево и теперь задаются уравнениями $x = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 3: Вертикальное растяжение.
Строим график функции $y_3 = 2\tan(x + \frac{2\pi}{3})$. Этот график получается из графика $y_2$ растяжением в 2 раза вдоль оси $Oy$. Значение функции в каждой точке (кроме точек пересечения с осью $Ox$) увеличивается в 2 раза по модулю.

Шаг 4: Вертикальный сдвиг.
Строим искомый график функции $y = 2\tan(x + \frac{2\pi}{3}) - \frac{1}{2}$. Этот график получается из графика $y_3$ сдвигом вниз вдоль оси $Oy$ на $\frac{1}{2}$.

Найдем ключевые точки для построения одной ветви графика.
Период функции не изменился и равен $T = \pi$.
Вертикальные асимптоты: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим одну ветвь на интервале между асимптотами $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.
- Центр симметрии ветви (точка перегиба) находится посередине между асимптотами: $x = \frac{-\pi/6 + 5\pi/6}{2} = \frac{4\pi/6}{2} = \frac{\pi}{3}$.
Найдем значение $y$ в этой точке: $y(\frac{\pi}{3}) = 2\tan(\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}) - \frac{1}{2} = 2\tan(\pi) - \frac{1}{2} = 2 \cdot 0 - \frac{1}{2} = -0.5$. Точка $(\frac{\pi}{3}, -0.5)$.
- Найдем еще две точки. Возьмем $x$ посередине между центром и асимптотами.
$x_1 = \frac{-\pi/6 + \pi/3}{2} = \frac{\pi/6}{2} = \frac{\pi}{12}$.
$y(\frac{\pi}{12}) = 2\tan(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3}) - \frac{1}{2} = 2\tan(\frac{9\pi}{12}) - \frac{1}{2} = 2\tan(\frac{3\pi}{4}) - \frac{1}{2} = 2(-1) - \frac{1}{2} = -2.5$. Точка $(\frac{\pi}{12}, -2.5)$.
$x_2 = \frac{\pi/3 + 5\pi/6}{2} = \frac{7\pi/6}{2} = \frac{7\pi}{12}$.
$y(\frac{7\pi}{12}) = 2\tan(\frac{7\pi}{12} + \frac{2\pi}{3}) - \frac{1}{2} = 2\tan(\frac{15\pi}{12}) - \frac{1}{2} = 2\tan(\frac{5\pi}{4}) - \frac{1}{2} = 2(1) - \frac{1}{2} = 1.5$. Точка $(\frac{7\pi}{12}, 1.5)$.

Построение:
1. На координатной плоскости проводим вертикальные асимптоты $x = -\frac{\pi}{6}$, $x = \frac{5\pi}{6}$ и т.д.
2. Отмечаем найденные точки: $(\frac{\pi}{12}, -2.5)$, $(\frac{\pi}{3}, -0.5)$, $(\frac{7\pi}{12}, 1.5)$.
3. Соединяем точки плавной кривой, которая приближается к асимптотам.
4. Повторяем эту ветвь на других периодах.

Ответ: График функции $y = 2\tan(x + \frac{2\pi}{3}) - \frac{1}{2}$ получается из графика $y = \tan(x)$ путем сдвига влево на $\frac{2\pi}{3}$, растяжения по вертикали в 2 раза и сдвига вниз на $\frac{1}{2}$.

2) $y = \cot(3x - \frac{\pi}{12})$

Для построения графика данной функции выполним последовательные преобразования графика основной функции $y = \cot(x)$. Для удобства преобразуем выражение в скобках: $y = \cot(3(x - \frac{\pi}{36}))$.

Шаг 1: Построение основного графика $y_1 = \cot(x)$.
Это котангенсоида с периодом $T = \pi$ и вертикальными асимптотами $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 2: Горизонтальное сжатие.
Строим график функции $y_2 = \cot(3x)$. Этот график получается из графика $y_1 = \cot(x)$ сжатием в 3 раза вдоль оси $Ox$. Период функции уменьшается в 3 раза: $T' = \frac{\pi}{3}$. Асимптоты теперь задаются уравнениями $3x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 3: Горизонтальный сдвиг.
Строим искомый график функции $y = \cot(3(x - \frac{\pi}{36}))$. Этот график получается из графика $y_2$ сдвигом вправо вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{36}$.

Найдем ключевые точки для построения одной ветви графика.
Период функции: $T = \frac{\pi}{3}$.
Вертикальные асимптоты: $3x - \frac{\pi}{12} = \pi n \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{12} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим одну ветвь на интервале между асимптотами $x = \frac{\pi}{36}$ (при n=0) и $x = \frac{13\pi}{36}$ (при n=1).
- Пересечение с осью $Ox$ (корень функции) находится посередине между асимптотами: $x = \frac{\pi/36 + 13\pi/36}{2} = \frac{14\pi/36}{2} = \frac{7\pi}{36}$.
Проверим: $y(\frac{7\pi}{36}) = \cot(3 \cdot \frac{7\pi}{36} - \frac{\pi}{12}) = \cot(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}) = \cot(\frac{6\pi}{12}) = \cot(\frac{\pi}{2}) = 0$. Точка $(\frac{7\pi}{36}, 0)$.
- Найдем еще две точки. Возьмем $x$ посередине между корнем и асимптотами.
$x_1 = \frac{\pi/36 + 7\pi/36}{2} = \frac{8\pi/36}{2} = \frac{4\pi}{36} = \frac{\pi}{9}$.
$y(\frac{\pi}{9}) = \cot(3 \cdot \frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{12}) = \cot(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12}) = \cot(\frac{3\pi}{12}) = \cot(\frac{\pi}{4}) = 1$. Точка $(\frac{\pi}{9}, 1)$.
$x_2 = \frac{7\pi/36 + 13\pi/36}{2} = \frac{20\pi/36}{2} = \frac{10\pi}{36} = \frac{5\pi}{18}$.
$y(\frac{5\pi}{18}) = \cot(3 \cdot \frac{5\pi}{18} - \frac{\pi}{12}) = \cot(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{12}) = \cot(\frac{9\pi}{12}) = \cot(\frac{3\pi}{4}) = -1$. Точка $(\frac{5\pi}{18}, -1)$.

Построение:
1. На координатной плоскости проводим вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{36}$, $x = \frac{13\pi}{36}$ и т.д.
2. Отмечаем найденные точки: $(\frac{\pi}{9}, 1)$, $(\frac{7\pi}{36}, 0)$, $(\frac{5\pi}{18}, -1)$.
3. Соединяем точки плавной убывающей кривой, которая приближается к асимптотам.
4. Повторяем эту ветвь на других периодах.

Ответ: График функции $y = \cot(3x - \frac{\pi}{12})$ получается из графика $y = \cot(x)$ путем сжатия по горизонтали в 3 раза и сдвига вправо на $\frac{\pi}{36}$.