Вопросы?, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?

2. Какое тождество связывает тангенс и косинус одного и того же аргумента? Для каких значений аргумента верно это тождество?

3. Какое тождество связывает котангенс и синус одного и того же аргумента? Для каких значений аргумента верно это тождество?

4. Какое тождество связывает тангенс и котангенс одного и того же аргумента? Для каких значений аргумента верно это тождество?

1. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?
Основным тригонометрическим тождеством называют равенство, которое связывает синус и косинус одного и того же аргумента. Оно гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса любого угла всегда равна единице. Это тождество является прямым следствием теоремы Пифагора, примененной к единичной окружности. Формула основного тригонометрического тождества:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
Данное равенство справедливо для любого значения аргумента $\alpha$.
Ответ: Равенство $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

2. Какое тождество связывает тангенс и косинус одного и того же аргумента? Для каких значений аргумента верно это тождество?
Тангенс и косинус одного и того же аргумента $\alpha$ связаны тождеством, которое выводится из основного тригонометрического тождества. Для его получения необходимо разделить обе части равенства $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ на $\cos^2\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$):
$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha}$
Поскольку $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, тождество принимает следующий вид:
$1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$
Это тождество верно для всех значений аргумента $\alpha$, при которых тангенс определён, то есть при которых знаменатель (косинус) не равен нулю. Таким образом, условие верности тождества: $\cos\alpha \neq 0$, что соответствует всем углам, кроме $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: Тождество $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$, которое верно при $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

3. Какое тождество связывает котангенс и синус одного и того же аргумента? Для каких значений аргумента верно это тождество?
Котангенс и синус одного и того же аргумента $\alpha$ связаны тождеством, которое также является следствием основного тригонометрического тождества. Для его вывода нужно разделить обе части равенства $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ на $\sin^2\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$):
$\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{1}{\sin^2\alpha}$
Поскольку $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, тождество принимает следующий вид:
$1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$
Это тождество верно для всех значений аргумента $\alpha$, при которых котангенс определён, то есть при которых его знаменатель (синус) не равен нулю. Таким образом, условие верности тождества: $\sin\alpha \neq 0$, что соответствует всем углам, кроме $\alpha = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: Тождество $1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$, которое верно при $\alpha \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

4. Какое тождество связывает тангенс и котангенс одного и того же аргумента? Для каких значений аргумента верно это тождество?
Тангенс и котангенс одного и того же аргумента $\alpha$ связаны тождеством, вытекающим из их определений: $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. При перемножении этих двух выражений синусы и косинусы сокращаются:
$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 1$
Следовательно, искомое тождество:
$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$
Это тождество верно только для тех значений аргумента $\alpha$, для которых существуют (определены) и тангенс, и котангенс. Это требует, чтобы и $\cos\alpha \neq 0$ (для существования тангенса), и $\sin\alpha \neq 0$ (для существования котангенса). Оба условия выполняются, если угол $\alpha$ не является кратным $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, тождество верно при $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: Тождество $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$, которое верно при $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.