Номер 22.9, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.9. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{\text{tg}x})^2$;

2) $y = \text{ctg}x - \text{ctg}|x|$;

3) $y = \sqrt{-\text{ctg}^2x}$;

4) $y = \frac{|\text{tg}x|}{\text{tg}x}$;

5) $y = \text{tg}x + \sqrt{\text{tg}^2x}$;

6) $y = \text{tg}x \text{ctg}x$.

1) $y = (\sqrt{\operatorname{tg} x})^2$

1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\operatorname{tg} x \ge 0$.
Это неравенство выполняется при $x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Упростим функцию. На области определения $(\sqrt{a})^2 = a$, поэтому:
$y = \operatorname{tg} x$.

3. Таким образом, нужно построить график функции $y = \operatorname{tg} x$ при условии, что $\operatorname{tg} x \ge 0$. Это те части графика тангенса, которые лежат не ниже оси Ox.

Ответ: График функции представляет собой части графика функции $y = \operatorname{tg} x$, расположенные в первой и третьей координатных четвертях, то есть на интервалах $[\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} |x|$

1. Найдём ОДЗ. Функции $\operatorname{ctg} x$ и $\operatorname{ctg} |x|$ должны быть определены.
$\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
$\sin |x| \neq 0 \implies |x| \neq \pi n \implies x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Общая ОДЗ: $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x > 0$.
Тогда $|x| = x$, и функция принимает вид:
$y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = 0$.
Случай 2: $x < 0$.
Тогда $|x| = -x$. Используя свойство нечётности котангенса $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$, получаем:
$y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg}(-x) = \operatorname{ctg} x - (-\operatorname{ctg} x) = 2\operatorname{ctg} x$.

3. Строим график. Для $x > 0$ это луч $y=0$ (положительная полуось Ox) с выколотыми точками $x = \pi, 2\pi, 3\pi, ...$. Для $x < 0$ это график функции $y=2\operatorname{ctg} x$, который является графиком $y=\operatorname{ctg} x$, растянутым в 2 раза вдоль оси Oy.

Ответ: График функции состоит из двух частей: для $x>0$ это положительная полуось Ox ($y=0$) с выколотыми точками $x = \pi n, n \in \mathbb{N}$; для $x<0$ это график функции $y = 2\operatorname{ctg} x$.

3) $y = \sqrt{-\operatorname{ctg}^2 x}$

1. Найдём ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$-\operatorname{ctg}^2 x \ge 0$.
Поскольку $\operatorname{ctg}^2 x = (\operatorname{ctg} x)^2 \ge 0$ для всех $x$ из области определения котангенса, то $-\operatorname{ctg}^2 x \le 0$.
Следовательно, неравенство $-\operatorname{ctg}^2 x \ge 0$ выполняется только в одном случае:
$-\operatorname{ctg}^2 x = 0 \implies \operatorname{ctg} x = 0$.

2. Решим уравнение $\operatorname{ctg} x = 0$:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Найдём значение функции в этих точках:
$y = \sqrt{-0^2} = 0$.

4. Таким образом, функция определена только в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ и в этих точках равна нулю. График представляет собой набор изолированных точек.

Ответ: График функции представляет собой бесконечное множество изолированных точек на оси Ox с координатами $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \frac{|\operatorname{tg} x|}{\operatorname{tg} x}$

1. Найдём ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю, и тангенс должен быть определен.
$\operatorname{tg} x \neq 0 \implies x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя, получаем ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Упростим функцию, рассмотрев два случая.
Случай 1: $\operatorname{tg} x > 0$.
Это происходит при $x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Тогда $|\operatorname{tg} x| = \operatorname{tg} x$, и:
$y = \frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} x} = 1$.
Случай 2: $\operatorname{tg} x < 0$.
Это происходит при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$. Тогда $|\operatorname{tg} x| = -\operatorname{tg} x$, и:
$y = \frac{-\operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} x} = -1$.

3. График представляет собой набор горизонтальных интервалов на уровнях $y=1$ и $y=-1$.

Ответ: График функции состоит из бесконечного набора горизонтальных интервалов. На интервалах $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$ график представляет собой отрезок прямой $y=1$, а на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$ — отрезок прямой $y=-1$, где $n \in \mathbb{Z}$. Концы интервалов выколоты.

5) $y = \operatorname{tg} x + \sqrt{\operatorname{tg}^2 x}$

1. Найдём ОДЗ. Функция $\operatorname{tg} x$ должна быть определена:
$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. Упростим выражение. По определению, $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому:
$y = \operatorname{tg} x + |\operatorname{tg} x|$.

3. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $\operatorname{tg} x \ge 0$.
Это происходит при $x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Тогда $|\operatorname{tg} x| = \operatorname{tg} x$, и:
$y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} x = 2\operatorname{tg} x$.
Случай 2: $\operatorname{tg} x < 0$.
Это происходит при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$. Тогда $|\operatorname{tg} x| = -\operatorname{tg} x$, и:
$y = \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} x = 0$.

Ответ: График функции совпадает с графиком $y = 2\operatorname{tg} x$ на интервалах, где $\operatorname{tg} x \ge 0$ (то есть $[\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$), и совпадает с осью Ox ($y=0$) на интервалах, где $\operatorname{tg} x < 0$ (то есть $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$), где $n \in \mathbb{Z}$.

6) $y = \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x$

1. Найдём ОДЗ. Обе функции, $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$, должны быть определены.
Для $\operatorname{tg} x$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Для $\operatorname{ctg} x$: $x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя эти условия, получаем, что $x$ не может быть равен целому кратному $\frac{\pi}{2}$.
ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Упростим функцию. На области определения $\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x = 1$.
$y = 1$.

3. Таким образом, график функции — это горизонтальная прямая $y=1$, из которой исключены (выколоты) точки, не входящие в ОДЗ.

Ответ: График функции — прямая $y=1$ с выколотыми точками, абсциссы которых $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.