Номер 22.2, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.2. Сравните:

1) $ \text{tg } 100^\circ $ и $ \text{tg } 92^\circ $;

2) $ \text{ctg } 100^\circ $ и $ \text{ctg } 92^\circ $;

3) $ \text{tg } \frac{2\pi}{9} $ и $ \text{tg } \frac{5\pi}{18} $;

4) $ \text{ctg } \frac{3\pi}{8} $ и $ \text{ctg } \frac{5\pi}{12} $;

5) $ \text{tg } (-1) $ и $ \text{tg } (-1,2) $;

6) $ \text{ctg } (-3) $ и $ \text{ctg } (-3,1) $.

1) tg 100° и tg 92°

Для сравнения значений тангенса рассмотрим свойства функции $y=\text{tg } x$. Эта функция является возрастающей на каждом из интервалов вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В градусной мере это интервалы $(-90^\circ + 180^\circ n, 90^\circ + 180^\circ n)$. Для $n=1$ получаем интервал $(90^\circ, 270^\circ)$.

Оба угла, $92^\circ$ и $100^\circ$, принадлежат этому интервалу. Поскольку на данном интервале функция $y=\text{tg } x$ возрастает, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Так как $100^\circ > 92^\circ$, то $\text{tg } 100^\circ > \text{tg } 92^\circ$.

Ответ: $\text{tg } 100^\circ > \text{tg } 92^\circ$.

2) ctg 100° и ctg 92°

Функция $y=\text{ctg } x$ является убывающей на каждом из интервалов вида $(\pi n, \pi + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В градусной мере это интервалы $(180^\circ n, 180^\circ + 180^\circ n)$. Для $n=0$ получаем интервал $(0^\circ, 180^\circ)$.

Оба угла, $92^\circ$ и $100^\circ$, принадлежат этому интервалу. Поскольку на данном интервале функция $y=\text{ctg } x$ убывает, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Так как $100^\circ > 92^\circ$, то $\text{ctg } 100^\circ < \text{ctg } 92^\circ$.

Ответ: $\text{ctg } 100^\circ < \text{ctg } 92^\circ$.

3) tg $\frac{2\pi}{9}$ и tg $\frac{5\pi}{18}$

Сначала приведем углы к общему знаменателю, чтобы их было удобнее сравнивать: $\frac{2\pi}{9} = \frac{4\pi}{18}$.

Теперь сравним $\frac{4\pi}{18}$ и $\frac{5\pi}{18}$. Оба угла находятся в первой четверти, так как $0 < \frac{4\pi}{18} < \frac{9\pi}{18} = \frac{\pi}{2}$ и $0 < \frac{5\pi}{18} < \frac{9\pi}{18} = \frac{\pi}{2}$.

Интервал $(0, \frac{\pi}{2})$ является частью интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, на котором функция $y=\text{tg } x$ возрастает.

Так как $\frac{5\pi}{18} > \frac{4\pi}{18}$, то $\text{tg } \frac{5\pi}{18} > \text{tg } \frac{4\pi}{18}$.

Следовательно, $\text{tg } \frac{5\pi}{18} > \text{tg } \frac{2\pi}{9}$.

Ответ: $\text{tg } \frac{2\pi}{9} < \text{tg } \frac{5\pi}{18}$.

4) ctg $\frac{3\pi}{8}$ и ctg $\frac{5\pi}{12}$

Приведем углы к общему знаменателю 24: $\frac{3\pi}{8} = \frac{9\pi}{24}$ и $\frac{5\pi}{12} = \frac{10\pi}{24}$.

Оба угла, $\frac{9\pi}{24}$ и $\frac{10\pi}{24}$, находятся в первой четверти, так как $0 < \frac{9\pi}{24} < \frac{12\pi}{24} = \frac{\pi}{2}$ и $0 < \frac{10\pi}{24} < \frac{12\pi}{24} = \frac{\pi}{2}$.

Интервал $(0, \frac{\pi}{2})$ является частью интервала $(0, \pi)$, на котором функция $y=\text{ctg } x$ убывает.

Так как $\frac{10\pi}{24} > \frac{9\pi}{24}$, то из-за убывания функции котангенса следует, что $\text{ctg } \frac{10\pi}{24} < \text{ctg } \frac{9\pi}{24}$.

Следовательно, $\text{ctg } \frac{5\pi}{12} < \text{ctg } \frac{3\pi}{8}$.

Ответ: $\text{ctg } \frac{3\pi}{8} > \text{ctg } \frac{5\pi}{12}$.

5) tg (–1) и tg (–1,2)

Углы даны в радианах. Определим, на каком промежутке монотонности находятся значения -1 и -1,2. Зная, что $\pi \approx 3,14$, имеем $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.

Оба значения, -1 и -1,2, принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \approx (-1,57; 1,57)$. На этом интервале функция $y=\text{tg } x$ возрастает.

Сравним аргументы: $-1 > -1,2$.

Поскольку функция возрастающая, большему аргументу соответствует большее значение функции. Таким образом, $\text{tg}(-1) > \text{tg}(-1,2)$.

Ответ: $\text{tg}(-1) > \text{tg}(-1,2)$.

6) ctg (–3) и ctg (–3,1)

Углы даны в радианах. Определим промежуток монотонности для значений -3 и -3,1. Зная, что $\pi \approx 3,14$, имеем $-\pi \approx -3,14$.

Оба значения, -3 и -3,1, принадлежат интервалу $(-\pi, 0) \approx (-3,14; 0)$. На этом интервале функция $y=\text{ctg } x$ убывает.

Сравним аргументы: $-3 > -3,1$.

Поскольку функция убывающая, большему аргументу соответствует меньшее значение функции. Таким образом, $\text{ctg}(-3) < \text{ctg}(-3,1)$.

Ответ: $\text{ctg}(-3) < \text{ctg}(-3,1)$.