Страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Перечислите свойства функции $y = \operatorname{tg}x, y = \operatorname{ctg}x$.

Свойства функции y = tg x

• Область определения: все действительные числа, кроме тех, в которых косинус равен нулю, так как $tg(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Это точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число.

  Запись: $D(y): x \in R, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.

• Область значений: множество всех действительных чисел.

  Запись: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

• Четность: функция является нечетной, так как $tg(-x) = -tg(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат.

• Периодичность: функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \pi$.

• Нули функции: функция равна нулю, когда ее числитель $\sin(x)$ равен нулю. Это происходит в точках $x = \pi k$, где $k \in Z$.

• Промежутки знакопостоянства:

  • $y > 0$ на интервалах $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in Z$.

  • $y < 0$ на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k)$, где $k \in Z$.

• Промежутки монотонности: функция строго возрастает на всей области своего определения, т.е. на каждом из интервалов $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in Z$.

• Экстремумы: функция не имеет точек максимума и минимума.

• Асимптоты: прямые вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$, являются вертикальными асимптотами.

Ответ: Основные свойства функции $y = tg x$ включают: область определения $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$; область значений $(-\infty; +\infty)$; нечетность; периодичность с периодом $\pi$; нули при $x = \pi k$; возрастание на всей области определения; отсутствие экстремумов; наличие вертикальных асимптот $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Свойства функции y = ctg x

• Область определения: все действительные числа, кроме тех, в которых синус равен нулю, так как $ctg(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$. Это точки вида $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число.

  Запись: $D(y): x \in R, x \neq \pi k, k \in Z$.

• Область значений: множество всех действительных чисел.

  Запись: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

• Четность: функция является нечетной, так как $ctg(-x) = -ctg(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат.

• Периодичность: функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \pi$.

• Нули функции: функция равна нулю, когда ее числитель $\cos(x)$ равен нулю. Это происходит в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

• Промежутки знакопостоянства:

  • $y > 0$ на интервалах $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in Z$.

  • $y < 0$ на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi(k+1))$, где $k \in Z$.

• Промежутки монотонности: функция строго убывает на всей области своего определения, т.е. на каждом из интервалов $(\pi k, \pi(k+1))$, где $k \in Z$.

• Экстремумы: функция не имеет точек максимума и минимума.

• Асимптоты: прямые вида $x = \pi k$, где $k \in Z$, являются вертикальными асимптотами.

Ответ: Основные свойства функции $y = ctg x$ включают: область определения $x \neq \pi k, k \in Z$; область значений $(-\infty; +\infty)$; нечетность; периодичность с периодом $\pi$; нули при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$; убывание на всей области определения; отсутствие экстремумов; наличие вертикальных асимптот $x = \pi k$.

22.1. Сравните:

1) $ \tan (-38^{\circ}) $ и $ \tan (-42^{\circ}) $;

2) $ \tan 130^{\circ} $ и $ \tan 150^{\circ} $;

3) $ \tan 0.9\pi $ и $ \tan 1.2\pi $;

4) $ \tan 1 $ и $ \tan 1.5 $;

5) $ \cot (-40^{\circ}) $ и $ \cot (-60^{\circ}) $;

6) $ \cot 2 $ и $ \cot 3 $.

1) tg(-38°) и tg(-42°)

Функция тангенс является нечетной, то есть $tg(-x) = -tg(x)$. Поэтому задача сводится к сравнению $-tg(38°)$ и $-tg(42°)$.

В интервале $(-90°; 90°)$ функция $y = tg(x)$ является возрастающей. Углы $38°$ и $42°$ принадлежат этому интервалу, а именно его части $(0°; 90°)$.

Поскольку $38° < 42°$, то, в силу возрастания функции тангенс, $tg(38°) < tg(42°)$.

При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число (в данном случае на $-1$) знак неравенства меняется на противоположный:

$-tg(38°) > -tg(42°)$.

Следовательно, $tg(-38°) > tg(-42°)$.

Ответ: $tg(-38°) > tg(-42°)$.

2) tg 130° и tg 150°

Углы 130° и 150° принадлежат интервалу $(90°; 180°)$, что соответствует второй четверти координатной плоскости.

На этом интервале функция $y = tg(x)$ является возрастающей.

Поскольку $130° < 150°$, то из свойства возрастания функции тангенс на данном интервале следует, что $tg(130°) < tg(150°)$.

Ответ: $tg(130°) < tg(150°)$.

3) tg 0,9π и tg 1,2π

Определим, в каких координатных четвертях находятся данные углы.

Для угла $0,9\pi$ справедливо неравенство $\frac{\pi}{2} < 0,9\pi < \pi$. Следовательно, этот угол находится во второй четверти, где тангенс отрицателен: $tg(0,9\pi) < 0$.

Для угла $1,2\pi$ справедливо неравенство $\pi < 1,2\pi < \frac{3\pi}{2}$. Следовательно, этот угол находится в третьей четверти, где тангенс положителен: $tg(1,2\pi) > 0$.

Любое отрицательное число меньше любого положительного числа, поэтому $tg(0,9\pi) < tg(1,2\pi)$.

Ответ: $tg(0,9\pi) < tg(1,2\pi)$.

4) tg 1 и tg 1,5

Аргументы функции даны в радианах. Оценим их значения: $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,57$ рад.

Оба угла, 1 радиан и 1,5 радиан, принадлежат интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$, то есть находятся в первой четверти.

На интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ функция $y = tg(x)$ возрастает.

Поскольку $1 < 1,5$, то $tg(1) < tg(1,5)$.

Ответ: $tg(1) < tg(1,5)$.

5) ctg(-40°) и ctg(-60°)

Функция котангенс является нечетной, то есть $ctg(-x) = -ctg(x)$. Поэтому задача сводится к сравнению $-ctg(40°)$ и $-ctg(60°)$.

В интервале $(0°; 180°)$ функция $y = ctg(x)$ является убывающей. Углы 40° и 60° принадлежат этому интервалу.

Поскольку $40° < 60°$, то, в силу убывания функции котангенс, $ctg(40°) > ctg(60°)$.

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$-ctg(40°) < -ctg(60°)$.

Следовательно, $ctg(-40°) < ctg(-60°)$.

Ответ: $ctg(-40°) < ctg(-60°)$.

6) ctg 2 и ctg 3

Аргументы функции даны в радианах. Оценим их значения, зная, что $\pi \approx 3,14159$.

Оба угла, 2 радиана и 3 радиана, принадлежат интервалу $(0; \pi)$, так как $0 < 2 < \pi$ и $0 < 3 < \pi$.

На всем интервале $(0; \pi)$ функция $y = ctg(x)$ является убывающей.

Поскольку $2 < 3$, то из свойства убывания функции котангенс следует, что $ctg(2) > ctg(3)$.

Ответ: $ctg(2) > ctg(3)$.

22.2. Сравните:

1) $ \text{tg } 100^\circ $ и $ \text{tg } 92^\circ $;

2) $ \text{ctg } 100^\circ $ и $ \text{ctg } 92^\circ $;

3) $ \text{tg } \frac{2\pi}{9} $ и $ \text{tg } \frac{5\pi}{18} $;

4) $ \text{ctg } \frac{3\pi}{8} $ и $ \text{ctg } \frac{5\pi}{12} $;

5) $ \text{tg } (-1) $ и $ \text{tg } (-1,2) $;

6) $ \text{ctg } (-3) $ и $ \text{ctg } (-3,1) $.

1) tg 100° и tg 92°

Для сравнения значений тангенса рассмотрим свойства функции $y=\text{tg } x$. Эта функция является возрастающей на каждом из интервалов вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В градусной мере это интервалы $(-90^\circ + 180^\circ n, 90^\circ + 180^\circ n)$. Для $n=1$ получаем интервал $(90^\circ, 270^\circ)$.

Оба угла, $92^\circ$ и $100^\circ$, принадлежат этому интервалу. Поскольку на данном интервале функция $y=\text{tg } x$ возрастает, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Так как $100^\circ > 92^\circ$, то $\text{tg } 100^\circ > \text{tg } 92^\circ$.

Ответ: $\text{tg } 100^\circ > \text{tg } 92^\circ$.

2) ctg 100° и ctg 92°

Функция $y=\text{ctg } x$ является убывающей на каждом из интервалов вида $(\pi n, \pi + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В градусной мере это интервалы $(180^\circ n, 180^\circ + 180^\circ n)$. Для $n=0$ получаем интервал $(0^\circ, 180^\circ)$.

Оба угла, $92^\circ$ и $100^\circ$, принадлежат этому интервалу. Поскольку на данном интервале функция $y=\text{ctg } x$ убывает, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Так как $100^\circ > 92^\circ$, то $\text{ctg } 100^\circ < \text{ctg } 92^\circ$.

Ответ: $\text{ctg } 100^\circ < \text{ctg } 92^\circ$.

3) tg $\frac{2\pi}{9}$ и tg $\frac{5\pi}{18}$

Сначала приведем углы к общему знаменателю, чтобы их было удобнее сравнивать: $\frac{2\pi}{9} = \frac{4\pi}{18}$.

Теперь сравним $\frac{4\pi}{18}$ и $\frac{5\pi}{18}$. Оба угла находятся в первой четверти, так как $0 < \frac{4\pi}{18} < \frac{9\pi}{18} = \frac{\pi}{2}$ и $0 < \frac{5\pi}{18} < \frac{9\pi}{18} = \frac{\pi}{2}$.

Интервал $(0, \frac{\pi}{2})$ является частью интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, на котором функция $y=\text{tg } x$ возрастает.

Так как $\frac{5\pi}{18} > \frac{4\pi}{18}$, то $\text{tg } \frac{5\pi}{18} > \text{tg } \frac{4\pi}{18}$.

Следовательно, $\text{tg } \frac{5\pi}{18} > \text{tg } \frac{2\pi}{9}$.

Ответ: $\text{tg } \frac{2\pi}{9} < \text{tg } \frac{5\pi}{18}$.

4) ctg $\frac{3\pi}{8}$ и ctg $\frac{5\pi}{12}$

Приведем углы к общему знаменателю 24: $\frac{3\pi}{8} = \frac{9\pi}{24}$ и $\frac{5\pi}{12} = \frac{10\pi}{24}$.

Оба угла, $\frac{9\pi}{24}$ и $\frac{10\pi}{24}$, находятся в первой четверти, так как $0 < \frac{9\pi}{24} < \frac{12\pi}{24} = \frac{\pi}{2}$ и $0 < \frac{10\pi}{24} < \frac{12\pi}{24} = \frac{\pi}{2}$.

Интервал $(0, \frac{\pi}{2})$ является частью интервала $(0, \pi)$, на котором функция $y=\text{ctg } x$ убывает.

Так как $\frac{10\pi}{24} > \frac{9\pi}{24}$, то из-за убывания функции котангенса следует, что $\text{ctg } \frac{10\pi}{24} < \text{ctg } \frac{9\pi}{24}$.

Следовательно, $\text{ctg } \frac{5\pi}{12} < \text{ctg } \frac{3\pi}{8}$.

Ответ: $\text{ctg } \frac{3\pi}{8} > \text{ctg } \frac{5\pi}{12}$.

5) tg (–1) и tg (–1,2)

Углы даны в радианах. Определим, на каком промежутке монотонности находятся значения -1 и -1,2. Зная, что $\pi \approx 3,14$, имеем $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.

Оба значения, -1 и -1,2, принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \approx (-1,57; 1,57)$. На этом интервале функция $y=\text{tg } x$ возрастает.

Сравним аргументы: $-1 > -1,2$.

Поскольку функция возрастающая, большему аргументу соответствует большее значение функции. Таким образом, $\text{tg}(-1) > \text{tg}(-1,2)$.

Ответ: $\text{tg}(-1) > \text{tg}(-1,2)$.

6) ctg (–3) и ctg (–3,1)

Углы даны в радианах. Определим промежуток монотонности для значений -3 и -3,1. Зная, что $\pi \approx 3,14$, имеем $-\pi \approx -3,14$.

Оба значения, -3 и -3,1, принадлежат интервалу $(-\pi, 0) \approx (-3,14; 0)$. На этом интервале функция $y=\text{ctg } x$ убывает.

Сравним аргументы: $-3 > -3,1$.

Поскольку функция убывающая, большему аргументу соответствует меньшее значение функции. Таким образом, $\text{ctg}(-3) < \text{ctg}(-3,1)$.

Ответ: $\text{ctg}(-3) < \text{ctg}(-3,1)$.

22.3. Постройте график функции:

1) $y = -tg x;$

2) $y = tg \left( x - \frac{\pi}{4} \right);$

3) $y = tg 3x.$

1) $y = -\text{tg } x$

График функции $y = -\text{tg } x$ получается из графика функции $y = \text{tg } x$ с помощью преобразования симметрии.

1. Сначала построим график базовой функции $y = \text{tg } x$. Это периодическая функция с периодом $T = \pi$, проходящая через начало координат. Ее вертикальные асимптоты — прямые вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Функция возрастает на каждом из интервалов области определения.

2. Чтобы получить график функции $y = -\text{tg } x$, нужно отразить график $y = \text{tg } x$ симметрично относительно оси абсцисс (оси Ox).

При этом преобразовании:

• Период функции не изменится и останется равным $\pi$.
• Положение вертикальных асимптот $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, не изменится.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox) $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, также останутся на своих местах.
• Возрастание функции сменится на убывание. На каждом интервале области определения, например, на $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, функция $y = -\text{tg } x$ будет убывать.

Ответ: График функции $y = -\text{tg } x$ является зеркальным отражением графика $y = \text{tg } x$ относительно оси Ox.

2) $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{4})$

График функции $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{4})$ получается из графика функции $y = \text{tg } x$ с помощью параллельного переноса (сдвига).

1. За основу берем график функции $y = \text{tg } x$.

2. Преобразование вида $f(x-a)$ соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ вдоль оси Ox. В нашем случае $a = \frac{\pi}{4}$, так как $a > 0$, сдвиг происходит вправо.

3. Таким образом, чтобы построить график $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{4})$, нужно сдвинуть график $y = \text{tg } x$ вправо на $\frac{\pi}{4}$ единиц.

При этом преобразовании:

• Период функции не изменится и останется равным $\pi$.
• Вертикальные асимптоты сместятся вправо на $\frac{\pi}{4}$. Новые асимптоты будут задаваться уравнением $x = (\frac{\pi}{2} + \pi n) + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции также сместятся вправо на $\frac{\pi}{4}$. Новые нули будут в точках $x = \pi n + \frac{\pi}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Характер монотонности (возрастание) сохранится.

Ответ: График функции $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{4})$ получается сдвигом графика $y = \text{tg } x$ вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ вправо.

3) $y = \text{tg } 3x$

График функции $y = \text{tg } 3x$ получается из графика функции $y = \text{tg } x$ с помощью сжатия по горизонтали.

1. Снова начинаем с графика базовой функции $y = \text{tg } x$.

2. Преобразование вида $f(kx)$ при $|k| > 1$ соответствует сжатию графика функции $f(x)$ к оси Oy в $k$ раз. В нашем случае $k=3$.

3. Чтобы построить график $y = \text{tg } 3x$, нужно сжать график $y = \text{tg } x$ по горизонтали (вдоль оси Ox) в 3 раза.

При этом преобразовании:

• Период функции изменится. Новый период $T_1 = \frac{T}{|k|} = \frac{\pi}{3}$.
• Вертикальные асимптоты также "сблизятся". Их новое положение определяется из условия $3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, откуда $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции находятся из условия $3x = \pi n$, откуда $x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Начало координат $(0,0)$ остается нулем функции.
• Функция по-прежнему будет возрастающей на каждом интервале области определения.

Ответ: График функции $y = \text{tg } 3x$ получается путем сжатия графика $y = \text{tg } x$ к оси Oy в 3 раза.

22.4. Постройте график функции:

1) $y = \operatorname{ctg} x - 1$;

2) $y = \operatorname{ctg} \left(x + \frac{\pi}{3}\right)$;

3) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}$.

Для построения графиков заданных функций будем использовать преобразования графика базовой функции $y = \operatorname{ctg} x$. График $y = \operatorname{ctg} x$ — это котангенсоида, периодическая функция с периодом $T = \pi$, имеющая вертикальные асимптоты в точках $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, и пересекающая ось абсцисс в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

1) $y = \operatorname{ctg} x - 1$

Чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg} x - 1$, необходимо выполнить преобразование графика функции $y = \operatorname{ctg} x$. Данное преобразование представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика вдоль оси ординат ($Oy$) на 1 единицу вниз.

Порядок построения:
1. Сначала строим график функции $y = \operatorname{ctg} x$. Отметим основные элементы на интервале $(0, \pi)$: вертикальные асимптоты $x=0$ и $x=\pi$, и ключевые точки, например, $(\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{3\pi}{4}, -1)$.
2. Затем каждую точку графика $y = \operatorname{ctg} x$ смещаем на 1 единицу вниз. Вертикальные асимптоты при этом остаются на своих местах: $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Период функции также не меняется и равен $\pi$.
3. Ключевые точки смещаются:

• Точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{4}, 1-1) = (\frac{\pi}{4}, 0)$.
• Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2}, 0-1) = (\frac{\pi}{2}, -1)$.
• Точка $(\frac{3\pi}{4}, -1)$ переходит в точку $(\frac{3\pi}{4}, -1-1) = (\frac{3\pi}{4}, -2)$.

4. Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$) смещаются. Их можно найти, решив уравнение $\operatorname{ctg} x - 1 = 0$, откуда $\operatorname{ctg} x = 1$, что дает $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
5. Соединяем новые точки плавной кривой, учитывая асимптоты. Повторяем полученную ветвь графика с периодом $\pi$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg} x - 1$ получается из графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ путем параллельного переноса на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.

2) $y = \operatorname{ctg}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$

Чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg}(x+\frac{\pi}{3})$, необходимо выполнить преобразование графика функции $y = \operatorname{ctg} x$. Это преобразование — параллельный перенос (сдвиг) графика вдоль оси абсцисс ($Ox$) на $\frac{\pi}{3}$ влево.

Порядок построения:
1. Строим график базовой функции $y = \operatorname{ctg} x$.
2. Смещаем весь график, включая асимптоты, на $\frac{\pi}{3}$ влево.
3. Вертикальные асимптоты $x = \pi n$ смещаются и становятся $x = \pi n - \frac{\pi}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$. Например, асимптоты $x=0$ и $x=\pi$ переходят в $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{2\pi}{3}$.
4. Период функции не изменяется и равен $\pi$.
5. Ключевые точки также смещаются влево на $\frac{\pi}{3}$:

• Точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ переходит в $(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}, 1) = (-\frac{\pi}{12}, 1)$.
• Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в $(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}, 0) = (\frac{\pi}{6}, 0)$.
• Точка $(\frac{3\pi}{4}, -1)$ переходит в $(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3}, -1) = (\frac{5\pi}{12}, -1)$.

6. Нули функции находятся в точках $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
7. Проводим ветвь графика через новые точки между новыми асимптотами и повторяем ее периодически.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg}(x+\frac{\pi}{3})$ получается из графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ путем параллельного переноса на $\frac{\pi}{3}$ влево вдоль оси $Ox$.

3) $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{2}$

Чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{2}$, необходимо выполнить преобразование графика функции $y = \operatorname{ctg} x$. Это преобразование — растяжение графика вдоль оси абсцисс ($Ox$) от оси $Oy$ в 2 раза.

Порядок построения:
1. Строим график базовой функции $y = \operatorname{ctg} x$.
2. Выполняем растяжение графика в 2 раза по горизонтали. Это значит, что абсцисса каждой точки графика умножается на 2, а ордината остается неизменной.
3. Период функции изменяется. Новый период $T = \frac{\pi}{|1/2|} = 2\pi$.
4. Вертикальные асимптоты $x = \pi n$ смещаются и становятся $x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Основная ветвь графика будет расположена между асимптотами $x=0$ и $x=2\pi$.
5. Ключевые точки преобразуются следующим образом:

• Точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ переходит в $(\frac{\pi}{4} \cdot 2, 1) = (\frac{\pi}{2}, 1)$.
• Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в $(\frac{\pi}{2} \cdot 2, 0) = (\pi, 0)$.
• Точка $(\frac{3\pi}{4}, -1)$ переходит в $(\frac{3\pi}{4} \cdot 2, -1) = (\frac{3\pi}{2}, -1)$.

6. Нули функции находятся в точках $x = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
7. Соединяем новые точки плавной кривой между асимптотами $x=0$ и $x=2\pi$ и повторяем полученную ветвь с периодом $2\pi$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{2}$ получается из графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси $Ox$.