Номер 22.4, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.4. Постройте график функции:

1) $y = \operatorname{ctg} x - 1$;

2) $y = \operatorname{ctg} \left(x + \frac{\pi}{3}\right)$;

3) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}$.

Для построения графиков заданных функций будем использовать преобразования графика базовой функции $y = \operatorname{ctg} x$. График $y = \operatorname{ctg} x$ — это котангенсоида, периодическая функция с периодом $T = \pi$, имеющая вертикальные асимптоты в точках $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, и пересекающая ось абсцисс в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

1) $y = \operatorname{ctg} x - 1$

Чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg} x - 1$, необходимо выполнить преобразование графика функции $y = \operatorname{ctg} x$. Данное преобразование представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика вдоль оси ординат ($Oy$) на 1 единицу вниз.

Порядок построения:
1. Сначала строим график функции $y = \operatorname{ctg} x$. Отметим основные элементы на интервале $(0, \pi)$: вертикальные асимптоты $x=0$ и $x=\pi$, и ключевые точки, например, $(\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{3\pi}{4}, -1)$.
2. Затем каждую точку графика $y = \operatorname{ctg} x$ смещаем на 1 единицу вниз. Вертикальные асимптоты при этом остаются на своих местах: $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Период функции также не меняется и равен $\pi$.
3. Ключевые точки смещаются:

• Точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{4}, 1-1) = (\frac{\pi}{4}, 0)$.
• Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2}, 0-1) = (\frac{\pi}{2}, -1)$.
• Точка $(\frac{3\pi}{4}, -1)$ переходит в точку $(\frac{3\pi}{4}, -1-1) = (\frac{3\pi}{4}, -2)$.

4. Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$) смещаются. Их можно найти, решив уравнение $\operatorname{ctg} x - 1 = 0$, откуда $\operatorname{ctg} x = 1$, что дает $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
5. Соединяем новые точки плавной кривой, учитывая асимптоты. Повторяем полученную ветвь графика с периодом $\pi$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg} x - 1$ получается из графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ путем параллельного переноса на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.

2) $y = \operatorname{ctg}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$

Чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg}(x+\frac{\pi}{3})$, необходимо выполнить преобразование графика функции $y = \operatorname{ctg} x$. Это преобразование — параллельный перенос (сдвиг) графика вдоль оси абсцисс ($Ox$) на $\frac{\pi}{3}$ влево.

Порядок построения:
1. Строим график базовой функции $y = \operatorname{ctg} x$.
2. Смещаем весь график, включая асимптоты, на $\frac{\pi}{3}$ влево.
3. Вертикальные асимптоты $x = \pi n$ смещаются и становятся $x = \pi n - \frac{\pi}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$. Например, асимптоты $x=0$ и $x=\pi$ переходят в $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{2\pi}{3}$.
4. Период функции не изменяется и равен $\pi$.
5. Ключевые точки также смещаются влево на $\frac{\pi}{3}$:

• Точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ переходит в $(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}, 1) = (-\frac{\pi}{12}, 1)$.
• Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в $(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}, 0) = (\frac{\pi}{6}, 0)$.
• Точка $(\frac{3\pi}{4}, -1)$ переходит в $(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3}, -1) = (\frac{5\pi}{12}, -1)$.

6. Нули функции находятся в точках $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
7. Проводим ветвь графика через новые точки между новыми асимптотами и повторяем ее периодически.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg}(x+\frac{\pi}{3})$ получается из графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ путем параллельного переноса на $\frac{\pi}{3}$ влево вдоль оси $Ox$.

3) $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{2}$

Чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{2}$, необходимо выполнить преобразование графика функции $y = \operatorname{ctg} x$. Это преобразование — растяжение графика вдоль оси абсцисс ($Ox$) от оси $Oy$ в 2 раза.

Порядок построения:
1. Строим график базовой функции $y = \operatorname{ctg} x$.
2. Выполняем растяжение графика в 2 раза по горизонтали. Это значит, что абсцисса каждой точки графика умножается на 2, а ордината остается неизменной.
3. Период функции изменяется. Новый период $T = \frac{\pi}{|1/2|} = 2\pi$.
4. Вертикальные асимптоты $x = \pi n$ смещаются и становятся $x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Основная ветвь графика будет расположена между асимптотами $x=0$ и $x=2\pi$.
5. Ключевые точки преобразуются следующим образом:

• Точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ переходит в $(\frac{\pi}{4} \cdot 2, 1) = (\frac{\pi}{2}, 1)$.
• Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в $(\frac{\pi}{2} \cdot 2, 0) = (\pi, 0)$.
• Точка $(\frac{3\pi}{4}, -1)$ переходит в $(\frac{3\pi}{4} \cdot 2, -1) = (\frac{3\pi}{2}, -1)$.

6. Нули функции находятся в точках $x = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
7. Соединяем новые точки плавной кривой между асимптотами $x=0$ и $x=2\pi$ и повторяем полученную ветвь с периодом $2\pi$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{2}$ получается из графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси $Ox$.