Номер 22.1, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.1. Сравните:

1) $ \tan (-38^{\circ}) $ и $ \tan (-42^{\circ}) $;

2) $ \tan 130^{\circ} $ и $ \tan 150^{\circ} $;

3) $ \tan 0.9\pi $ и $ \tan 1.2\pi $;

4) $ \tan 1 $ и $ \tan 1.5 $;

5) $ \cot (-40^{\circ}) $ и $ \cot (-60^{\circ}) $;

6) $ \cot 2 $ и $ \cot 3 $.

1) tg(-38°) и tg(-42°)

Функция тангенс является нечетной, то есть $tg(-x) = -tg(x)$. Поэтому задача сводится к сравнению $-tg(38°)$ и $-tg(42°)$.

В интервале $(-90°; 90°)$ функция $y = tg(x)$ является возрастающей. Углы $38°$ и $42°$ принадлежат этому интервалу, а именно его части $(0°; 90°)$.

Поскольку $38° < 42°$, то, в силу возрастания функции тангенс, $tg(38°) < tg(42°)$.

При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число (в данном случае на $-1$) знак неравенства меняется на противоположный:

$-tg(38°) > -tg(42°)$.

Следовательно, $tg(-38°) > tg(-42°)$.

Ответ: $tg(-38°) > tg(-42°)$.

2) tg 130° и tg 150°

Углы 130° и 150° принадлежат интервалу $(90°; 180°)$, что соответствует второй четверти координатной плоскости.

На этом интервале функция $y = tg(x)$ является возрастающей.

Поскольку $130° < 150°$, то из свойства возрастания функции тангенс на данном интервале следует, что $tg(130°) < tg(150°)$.

Ответ: $tg(130°) < tg(150°)$.

3) tg 0,9π и tg 1,2π

Определим, в каких координатных четвертях находятся данные углы.

Для угла $0,9\pi$ справедливо неравенство $\frac{\pi}{2} < 0,9\pi < \pi$. Следовательно, этот угол находится во второй четверти, где тангенс отрицателен: $tg(0,9\pi) < 0$.

Для угла $1,2\pi$ справедливо неравенство $\pi < 1,2\pi < \frac{3\pi}{2}$. Следовательно, этот угол находится в третьей четверти, где тангенс положителен: $tg(1,2\pi) > 0$.

Любое отрицательное число меньше любого положительного числа, поэтому $tg(0,9\pi) < tg(1,2\pi)$.

Ответ: $tg(0,9\pi) < tg(1,2\pi)$.

4) tg 1 и tg 1,5

Аргументы функции даны в радианах. Оценим их значения: $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,57$ рад.

Оба угла, 1 радиан и 1,5 радиан, принадлежат интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$, то есть находятся в первой четверти.

На интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ функция $y = tg(x)$ возрастает.

Поскольку $1 < 1,5$, то $tg(1) < tg(1,5)$.

Ответ: $tg(1) < tg(1,5)$.

5) ctg(-40°) и ctg(-60°)

Функция котангенс является нечетной, то есть $ctg(-x) = -ctg(x)$. Поэтому задача сводится к сравнению $-ctg(40°)$ и $-ctg(60°)$.

В интервале $(0°; 180°)$ функция $y = ctg(x)$ является убывающей. Углы 40° и 60° принадлежат этому интервалу.

Поскольку $40° < 60°$, то, в силу убывания функции котангенс, $ctg(40°) > ctg(60°)$.

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$-ctg(40°) < -ctg(60°)$.

Следовательно, $ctg(-40°) < ctg(-60°)$.

Ответ: $ctg(-40°) < ctg(-60°)$.

6) ctg 2 и ctg 3

Аргументы функции даны в радианах. Оценим их значения, зная, что $\pi \approx 3,14159$.

Оба угла, 2 радиана и 3 радиана, принадлежат интервалу $(0; \pi)$, так как $0 < 2 < \pi$ и $0 < 3 < \pi$.

На всем интервале $(0; \pi)$ функция $y = ctg(x)$ является убывающей.

Поскольку $2 < 3$, то из свойства убывания функции котангенс следует, что $ctg(2) > ctg(3)$.

Ответ: $ctg(2) > ctg(3)$.