Номер 21.15, страница 164 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.15. Постройте график функции:

1) $y = \left|\cos \left(2|x| - \frac{\pi}{3}\right)\right|$;

2) $y = \left|\sin \left(\frac{1}{2}|x| + \frac{\pi}{6}\right)\right|$.

Для построения графика функции $y = |\cos(2|x| - \frac{\pi}{3})|$ выполним последовательность преобразований, исходя из графика базовой функции $y = \cos(x)$.

1. Построим график функции $y_1 = \cos(2x)$. Это сжатие графика $y = \cos(x)$ по горизонтали (к оси OY) в 2 раза. Период функции $T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
2. Построим график $y_2 = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$. Это можно представить как $y_2 = \cos(2(x - \frac{\pi}{6}))$. Данный график получается путем сдвига графика $y_1 = \cos(2x)$ вправо по оси OX на $\frac{\pi}{6}$.
3. Теперь рассмотрим функцию $y_3 = \cos(2|x| - \frac{\pi}{3})$. Эта функция является четной, так как $y_3(-x) = \cos(2|-x| - \frac{\pi}{3}) = \cos(2|x| - \frac{\pi}{3}) = y_3(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY. Чтобы построить его, нужно:
   • Взять часть графика $y_2 = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$, которая соответствует $x \ge 0$.
   • Отразить эту часть симметрично относительно оси OY.
4. Наконец, построим итоговый график $y = |\cos(2|x| - \frac{\pi}{3})|$. Это преобразование означает, что все части графика $y_3$, которые находятся ниже оси OX (где $y_3 < 0$), нужно симметрично отразить вверх относительно оси OX. Части графика, где $y_3 \ge 0$, остаются без изменений.

Найдем некоторые ключевые точки для $x \ge 0$:

• При $x=0$, $y=|\cos(0 - \frac{\pi}{3})| = |\cos(-\frac{\pi}{3})| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Точка пересечения с осью OY: $(0, \frac{1}{2})$.
• Нули функции (точки пересечения с осью OX): $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$. Это происходит, когда $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$. Отсюда $2x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, и $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$. Для $x \ge 0$ получаем $x = \frac{5\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \dots$
• Точки, в которых функция достигает максимального значения $y=1$: это происходит, когда $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 1$ или $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = -1$.
  Если $\cos(2x - \frac{\pi}{3})=1$, то $2x - \frac{\pi}{3} = 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi n$. Для $x \ge 0$: $x = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \dots$
  Если $\cos(2x - \frac{\pi}{3})=-1$, то $2x - \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi n \implies x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$. Для $x \ge 0$: $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \dots$

Ответ: График функции строится путем последовательных преобразований: сжатие косинусоиды к оси OY в 2 раза, сдвиг вправо на $\frac{\pi}{6}$, отражение части графика для $x \ge 0$ относительно оси OY для получения четной функции, и, наконец, отражение всех отрицательных частей графика вверх относительно оси OX.

Построение этого графика также выполним с помощью последовательных преобразований, исходя из графика базовой функции $y = \sin(x)$.

1. Построим график функции $y_1 = \sin(\frac{1}{2}x)$. Это растяжение графика $y = \sin(x)$ по горизонтали (от оси OY) в 2 раза. Период функции $T_1 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
2. Построим график $y_2 = \sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6})$. Это можно представить как $y_2 = \sin(\frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3}))$. Данный график получается путем сдвига графика $y_1 = \sin(\frac{1}{2}x)$ влево по оси OX на $\frac{\pi}{3}$.
3. Далее строим график $y_3 = \sin(\frac{1}{2}|x| + \frac{\pi}{6})$. Эта функция является четной, так как $y_3(-x) = \sin(\frac{1}{2}|-x| + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{1}{2}|x| + \frac{\pi}{6}) = y_3(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY. Для построения:
   • Берем часть графика $y_2 = \sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6})$ для $x \ge 0$.
   • Отражаем эту часть симметрично относительно оси OY.
4. Последний шаг — построение графика $y = |\sin(\frac{1}{2}|x| + \frac{\pi}{6})|$. Все части графика $y_3$, находящиеся под осью OX, отражаются симметрично вверх относительно оси OX.

Найдем некоторые ключевые точки для $x \ge 0$:

• При $x=0$, $y=|\sin(0 + \frac{\pi}{6})| = |\sin(\frac{\pi}{6})| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Точка пересечения с осью OY: $(0, \frac{1}{2})$.
• Нули функции: $\sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}) = 0$. Это происходит, когда $\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6} = \pi n$, где $n \in Z$. Отсюда $\frac{1}{2}x = \pi n - \frac{\pi}{6}$, и $x = 2\pi n - \frac{\pi}{3}$. Для $x \ge 0$ получаем $x = \frac{5\pi}{3}$ (при n=1), $x = \frac{11\pi}{3}$ (при n=2), $\dots$
• Точки, в которых функция достигает максимального значения $y=1$: это происходит, когда $\sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}) = 1$ или $\sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}) = -1$.
  Если $\sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6})=1$, то $\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$. Для $x \ge 0$: $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{14\pi}{3}, \dots$
  Если $\sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6})=-1$, то $\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{8\pi}{3} + 4\pi n$. Для $x \ge 0$: $x = \frac{8\pi}{3}, \frac{20\pi}{3}, \dots$

Ответ: График функции строится путем последовательных преобразований: растяжение синусоиды от оси OY в 2 раза, сдвиг влево на $\frac{\pi}{3}$, отражение части графика для $x \ge 0$ относительно оси OY, и отражение всех отрицательных частей графика вверх относительно оси OX.