gdz.top
Номер 21.9, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Тригонометрические функции. Параграф 21. Свойства и графики функций y = sin x и у = cos x - номер 21.9, страница 163.
№21.8
№21.9 (с. 163)
Условие. №21.9 (с. 163)
21.9. Постройте график функции $y = 2\sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) - 1$.
Решение. №21.9 (с. 163)
Для построения графика функции $y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) - 1$ выполним последовательные преобразования, начиная с графика базовой функции $y = \sin(x)$.
Построение графика $y = \sin(x)$
Начнем с графика стандартной синусоиды. Это периодическая функция с периодом $2\pi$, амплитудой 1 и областью значений $[-1, 1]$.
Преобразование в $y = \sin(2x)$
Это преобразование соответствует сжатию графика $y = \sin(x)$ по горизонтали (вдоль оси Ox) в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Преобразование в $y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$
Вынесем коэффициент 2 за скобки в аргументе синуса, чтобы определить фазовый сдвиг: $y = \sin(2(x + \frac{\pi}{6}))$. Это соответствует сдвигу графика $y = \sin(2x)$ влево по оси Ox на величину $\frac{\pi}{6}$.
Преобразование в $y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3})$
Умножение функции на 2 приводит к ее растяжению по вертикали (вдоль оси Oy) в 2 раза. Амплитуда колебаний увеличивается до 2. Область значений становится $[-2, 2]$.
Преобразование в $y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) - 1$
Вычитание 1 из функции сдвигает весь график вниз по оси Oy на 1 единицу. Средняя линия графика смещается с $y=0$ на $y=-1$. Область значений становится $[-2-1, 2-1]$, то есть $[-3, 1]$.
Свойства и ключевые точки итоговой функции
Функция $y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) - 1$ имеет следующие характеристики:
- Амплитуда: $A = 2$
- Период: $T = \pi$
- Фазовый сдвиг: $-\frac{\pi}{6}$ (влево)
- Вертикальный сдвиг: $-1$ (вниз)
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$
- Область значений: $E(y) = [-3; 1]$
Для построения одного периода графика найдем ключевые точки. Один цикл синусоиды начинается, когда ее аргумент равен 0, и заканчивается, когда аргумент равен $2\pi$.
| Аргумент синуса ($t$) | Условие $t = 2x + \frac{\pi}{3}$ | Значение $x$ | Значение $y = 2\sin(t) - 1$ | Характеристика точки |
|---|---|---|---|---|
| $0$ | $2x + \frac{\pi}{3} = 0$ | $x = -\frac{\pi}{6}$ | $y = -1$ | Начало периода (на средней линии) |
| $\frac{\pi}{2}$ | $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ | $x = \frac{\pi}{12}$ | $y = 1$ | Максимум |
| $\pi$ | $2x + \frac{\pi}{3} = \pi$ | $x = \frac{\pi}{3}$ | $y = -1$ | Пересечение средней линии |
| $\frac{3\pi}{2}$ | $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}$ | $x = \frac{7\pi}{12}$ | $y = -3$ | Минимум |
| $2\pi$ | $2x + \frac{\pi}{3} = 2\pi$ | $x = \frac{5\pi}{6}$ | $y = -1$ | Конец периода (на средней линии) |
График функции
Ниже представлен график функции $y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) - 1$, построенный на основе выполненных преобразований и ключевых точек.
Ответ:
График функции $y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) - 1$ — это синусоида, полученная из графика $y = \sin(x)$ путем сжатия по горизонтали в 2 раза, сдвига влево на $\frac{\pi}{6}$, растяжения по вертикали в 2 раза и сдвига вниз на 1. График представлен на рисунке выше.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 21.9 расположенного на странице 163 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №21.9 (с. 163), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.