Номер 21.4, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.4. Сравните:

1) cos $\frac{\pi}{9}$ и cos $\frac{4\pi}{9}$;

2) sin $\frac{5\pi}{9}$ и sin $\frac{17\pi}{18}$;

3) sin $\left(-\frac{7\pi}{30}\right)$ и sin $\left(-\frac{3\pi}{10}\right)$;

4) cos $\frac{10\pi}{7}$ и cos $\frac{11\pi}{9}$.

1) Сравним $\cos\frac{\pi}{9}$ и $\cos\frac{4\pi}{9}$. Аргументы $\frac{\pi}{9}$ и $\frac{4\pi}{9}$ принадлежат промежутку $[0, \frac{\pi}{2}]$, на котором функция $y=\cos x$ является убывающей. Сравним аргументы: $\frac{\pi}{9} < \frac{4\pi}{9}$. Поскольку функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, следовательно, $\cos\frac{\pi}{9} > \cos\frac{4\pi}{9}$.

Ответ: $\cos\frac{\pi}{9} > \cos\frac{4\pi}{9}$.

2) Сравним $\sin\frac{5\pi}{9}$ и $\sin\frac{17\pi}{18}$. Оба угла принадлежат промежутку $[\frac{\pi}{2}, \pi]$, на котором функция $y=\sin x$ является убывающей. Приведем аргументы к общему знаменателю: $\frac{5\pi}{9} = \frac{10\pi}{18}$. Так как $\frac{10\pi}{18} < \frac{17\pi}{18}$, а функция на этом промежутке убывает, то $\sin\frac{10\pi}{18} > \sin\frac{17\pi}{18}$, то есть $\sin\frac{5\pi}{9} > \sin\frac{17\pi}{18}$.

Ответ: $\sin\frac{5\pi}{9} > \sin\frac{17\pi}{18}$.

3) Сравним $\sin(-\frac{7\pi}{30})$ и $\sin(-\frac{3\pi}{10})$. Функция $y=\sin x$ является нечетной, поэтому $\sin(-x) = -\sin x$. Задача сводится к сравнению $-\sin\frac{7\pi}{30}$ и $-\sin\frac{3\pi}{10}$. Для этого сначала сравним $\sin\frac{7\pi}{30}$ и $\sin\frac{3\pi}{10}$. Оба угла $\frac{7\pi}{30}$ и $\frac{3\pi}{10}$ принадлежат промежутку $[0, \frac{\pi}{2}]$, на котором функция $y=\sin x$ возрастает. Сравним аргументы: $\frac{3\pi}{10} = \frac{9\pi}{30}$. Так как $\frac{7\pi}{30} < \frac{9\pi}{30}$, то $\sin\frac{7\pi}{30} < \sin\frac{9\pi}{30}$, или $\sin\frac{7\pi}{30} < \sin\frac{3\pi}{10}$. Умножив обе части неравенства на -1, получим: $-\sin\frac{7\pi}{30} > -\sin\frac{3\pi}{10}$. Следовательно, $\sin(-\frac{7\pi}{30}) > \sin(-\frac{3\pi}{10})$.

Ответ: $\sin(-\frac{7\pi}{30}) > \sin(-\frac{3\pi}{10})$.

4) Сравним $\cos\frac{10\pi}{7}$ и $\cos\frac{11\pi}{9}$. Оба угла, $\frac{10\pi}{7}$ и $\frac{11\pi}{9}$, принадлежат промежутку $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$, на котором функция $y=\cos x$ является возрастающей. Сравним аргументы, приведя их к общему знаменателю 63: $\frac{10\pi}{7} = \frac{90\pi}{63}$ и $\frac{11\pi}{9} = \frac{77\pi}{63}$. Так как $\frac{90\pi}{63} > \frac{77\pi}{63}$, а функция на этом промежутке возрастает, то $\cos\frac{90\pi}{63} > \cos\frac{77\pi}{63}$, то есть $\cos\frac{10\pi}{7} > \cos\frac{11\pi}{9}$.

Ответ: $\cos\frac{10\pi}{7} > \cos\frac{11\pi}{9}$.