Номер 20.23, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.23. Функция $f$ такова, что $f(0) = 1$ и при всех $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство $f(x+2) = \frac{f(x)}{5f(x)-1}$. Найдите $f(100)$.

По условию задачи нам дана функция $f(x)$, для которой известно, что $f(0) = 1$ и для любого действительного числа $x$ выполняется равенство $f(x + 2) = \frac{f(x)}{5f(x) - 1}$. Нам необходимо найти значение $f(100)$.

Для нахождения $f(100)$ мы можем последовательно вычислять значения функции в точках с шагом 2, начиная с $x=0$.

Найдем $f(2)$, подставив $x=0$ в данное равенство: $f(2) = f(0 + 2) = \frac{f(0)}{5f(0) - 1} = \frac{1}{5 \cdot 1 - 1} = \frac{1}{4}$.

Теперь найдем $f(4)$, подставив $x=2$: $f(4) = f(2 + 2) = \frac{f(2)}{5f(2) - 1} = \frac{1/4}{5 \cdot (1/4) - 1} = \frac{1/4}{5/4 - 1} = \frac{1/4}{1/4} = 1$.

Мы видим, что $f(4) = f(0) = 1$. Это позволяет предположить, что функция может быть периодической. Давайте проверим это, найдя выражение для $f(x+4)$. Мы можем сделать это, применив данное в условии равенство дважды.

Выразим $f(x+4)$ через $f(x+2)$: $f(x+4) = f((x+2) + 2) = \frac{f(x+2)}{5f(x+2) - 1}$.

Теперь подставим в это выражение формулу для $f(x+2)$, выраженную через $f(x)$: $f(x+4) = \frac{\frac{f(x)}{5f(x) - 1}}{5 \cdot \frac{f(x)}{5f(x) - 1} - 1}$.

Упростим полученное многоэтажное дробное выражение. Для этого приведем слагаемые в знаменателе к общему знаменателю: $f(x+4) = \frac{\frac{f(x)}{5f(x) - 1}}{\frac{5f(x)}{5f(x) - 1} - \frac{5f(x) - 1}{5f(x) - 1}} = \frac{\frac{f(x)}{5f(x) - 1}}{\frac{5f(x) - (5f(x) - 1)}{5f(x) - 1}} = \frac{\frac{f(x)}{5f(x) - 1}}{\frac{5f(x) - 5f(x) + 1}{5f(x) - 1}} = \frac{\frac{f(x)}{5f(x) - 1}}{\frac{1}{5f(x) - 1}}$.

Сократив числитель и знаменатель на $(5f(x) - 1)$, получаем: $f(x+4) = f(x)$.

Это означает, что функция $f(x)$ является периодической с периодом $4$.

Теперь мы можем легко найти $f(100)$. Так как $100$ кратно периоду $4$, мы можем записать $100 = 25 \cdot 4$. Используя свойство периодичности $f(x+nT) = f(x)$ (где $T$ - период, а $n$ - целое число), мы получим: $f(100) = f(0 + 25 \cdot 4) = f(0)$.

По условию задачи, $f(0) = 1$. Следовательно, $f(100) = 1$.

Ответ: $1$