Страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.14. При каких значениях параметра $a$ число $\pi$ является периодом функции $f(x) = \frac{\sin x}{a - \cos x}$?

Для того чтобы число $\pi$ было периодом функции $f(x) = \frac{\sin x}{a - \cos x}$, необходимо, чтобы для любого $x$ из области определения функции $D(f)$ выполнялось равенство $f(x + \pi) = f(x)$.

Область определения функции $D(f)$ задается условием $a - \cos x \neq 0$, то есть $\cos x \neq a$.

Для выполнения условия периодичности, область определения должна быть инвариантна относительно сдвига на период $T=\pi$. Это означает, что если $x \in D(f)$, то и $x+\pi \in D(f)$. Условие $x+\pi \in D(f)$ означает $a - \cos(x+\pi) \neq 0$. Так как $\cos(x+\pi) = -\cos x$, получаем $a - (-\cos x) \neq 0$, или $a+\cos x \neq 0$, то есть $\cos x \neq -a$. Таким образом, тождество $f(x + \pi) = f(x)$ должно выполняться для всех $x$, для которых $\cos x \neq a$ и $\cos x \neq -a$.

Составим уравнение, исходя из условия периодичности $f(x + \pi) = f(x)$:

$\frac{\sin(x + \pi)}{a - \cos(x + \pi)} = \frac{\sin x}{a - \cos x}$

Используя формулы приведения $\sin(x + \pi) = -\sin x$ и $\cos(x + \pi) = -\cos x$, преобразуем левую часть уравнения:

$\frac{-\sin x}{a - (-\cos x)} = \frac{-\sin x}{a + \cos x}$

Теперь равенство имеет вид:

$\frac{-\sin x}{a + \cos x} = \frac{\sin x}{a - \cos x}$

Перенесем все члены в одну сторону и приведем к общему знаменателю:

$\frac{\sin x}{a - \cos x} + \frac{\sin x}{a + \cos x} = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x \left( \frac{1}{a - \cos x} + \frac{1}{a + \cos x} \right) = 0$

Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:

$\sin x \left( \frac{(a + \cos x) + (a - \cos x)}{(a - \cos x)(a + \cos x)} \right) = 0$

$\sin x \left( \frac{2a}{a^2 - \cos^2 x} \right) = 0$

Это равенство должно быть тождеством, то есть выполняться для всех значений $x$ из области определения. Знаменатель $a^2 - \cos^2 x$ не равен нулю в области, где определены $f(x)$ и $f(x+\pi)$. Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы числитель был равен нулю:

$2a \sin x = 0$

Данное равенство должно выполняться для всех $x$, для которых функция определена. Рассмотрим два возможных случая для параметра $a$.

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $2 \cdot 0 \cdot \sin x = 0$, или $0 = 0$. Это равенство верно для любого $x$. При $a = 0$ функция имеет вид $f(x) = \frac{\sin x}{-\cos x} = -\tan x$. Известно, что функция тангенс имеет основной период $\pi$. Следовательно, $a = 0$ является решением.

2. Если $a \neq 0$, то для выполнения тождества $2a \sin x = 0$ необходимо, чтобы $\sin x = 0$ для всех $x$ из области определения. Однако это не так. Например, можно выбрать $x = \frac{\pi}{2}$. Для этого значения $x$ необходимо проверить, входит ли оно в область определения. Условие $\cos(\frac{\pi}{2}) \neq a$, то есть $0 \neq a$. Поскольку мы рассматриваем случай $a \neq 0$, точка $x = \frac{\pi}{2}$ принадлежит области определения. Но при $x = \frac{\pi}{2}$ значение $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \neq 0$. Таким образом, равенство $2a \sin x = 0$ не выполняется для всех $x$ из области определения, если $a \neq 0$.

Следовательно, единственное значение параметра, удовлетворяющее условию, — это $a=0$.

Ответ: $a=0$.

20.15. При каких значениях параметра $a$ число $\frac{\pi}{2}$ является периодом функции $f(x) = \frac{\cos 2x}{3a + \sin 2x}$?

Для того чтобы число $T = \frac{\pi}{2}$ было периодом функции $f(x) = \frac{\cos 2x}{3a + \sin 2x}$, необходимо, чтобы для любого $x$ из области определения функции выполнялось равенство $f(x + T) = f(x)$.

Во-первых, область определения функции $D(f)$ задается условием $3a + \sin 2x \neq 0$. Если $x \in D(f)$, то и $x+T$ должно принадлежать $D(f)$. Это означает, что $3a + \sin(2(x + \frac{\pi}{2})) \neq 0$. Так как $\sin(2(x + \frac{\pi}{2})) = \sin(2x + \pi) = -\sin 2x$, то должно выполняться условие $3a - \sin 2x \neq 0$.

Теперь подставим $x + \frac{\pi}{2}$ в функцию $f(x)$:

$f(x + \frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(2(x + \frac{\pi}{2}))}{3a + \sin(2(x + \frac{\pi}{2}))}$

Упростим числитель и знаменатель:

$\cos(2(x + \frac{\pi}{2})) = \cos(2x + \pi) = -\cos 2x$

$\sin(2(x + \frac{\pi}{2})) = \sin(2x + \pi) = -\sin 2x$

Таким образом, выражение для $f(x + \frac{\pi}{2})$ принимает вид:

$f(x + \frac{\pi}{2}) = \frac{-\cos 2x}{3a - \sin 2x}$

Приравняем $f(x)$ и $f(x + \frac{\pi}{2})$:

$\frac{\cos 2x}{3a + \sin 2x} = \frac{-\cos 2x}{3a - \sin 2x}$

Перенесем все в одну сторону:

$\frac{\cos 2x}{3a + \sin 2x} + \frac{\cos 2x}{3a - \sin 2x} = 0$

Вынесем $\cos 2x$ за скобки:

$\cos 2x \left(\frac{1}{3a + \sin 2x} + \frac{1}{3a - \sin 2x}\right) = 0$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\cos 2x \left(\frac{3a - \sin 2x + 3a + \sin 2x}{(3a + \sin 2x)(3a - \sin 2x)}\right) = 0$

$\cos 2x \left(\frac{6a}{9a^2 - \sin^2 2x}\right) = 0$

Это равенство должно выполняться для всех $x$ из области определения функции. Так как $\cos 2x$ не равен нулю для всех $x$, то для выполнения тождества необходимо, чтобы множитель при нем был равен нулю. Знаменатель $9a^2 - \sin^2 2x$ не может быть равен нулю по определению области определения функции. Следовательно, числитель должен быть равен нулю:

$6a = 0$

Отсюда получаем $a = 0$.

Проверим это значение. Если $a = 0$, то функция принимает вид $f(x) = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \cot 2x$. Известно, что наименьший положительный период функции $\cot(\omega x)$ равен $\frac{\pi}{|\omega|}$. В данном случае $\omega = 2$, и период равен $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, при $a=0$ число $\frac{\pi}{2}$ действительно является периодом функции.

Ответ: $a=0$.

20.16. Найдите все рациональные значения параметра $a$, при которых функции $f(x) = \cos \frac{2x}{\sqrt{5 + a^2}}$ и $g(x) = \operatorname{tg} \frac{x}{\sqrt{125 - 4a} + 1}$ имеют общий период.

Для того чтобы две периодические функции имели общий период, необходимо и достаточно, чтобы отношение их основных периодов было рациональным числом.

1. Найдем основные периоды функций $f(x)$ и $g(x)$.

Функция $f(x) = \cos\left(\frac{2x}{\sqrt{5+a^2}}\right)$ имеет вид $\cos(kx)$, где $k = \frac{2}{\sqrt{5+a^2}}$. Ее основной период $T_f$ равен:

$T_f = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{\left|\frac{2}{\sqrt{5+a^2}}\right|} = \pi\sqrt{5+a^2}$.

Эта функция определена для любого действительного $a$, так как $5+a^2 > 0$.

Функция $g(x) = \text{tg}\left(\frac{x}{\sqrt{125-4a}+1}\right)$ имеет вид $\text{tg}(mx)$, где $m = \frac{1}{\sqrt{125-4a}+1}$. Ее основной период $T_g$ равен:

$T_g = \frac{\pi}{|m|} = \frac{\pi}{\left|\frac{1}{\sqrt{125-4a}+1}\right|} = \pi(\sqrt{125-4a}+1)$.

Эта функция определена при условии $125-4a \ge 0$, то есть $a \le \frac{125}{4}$.

2. Запишем условие существования общего периода.

Отношение основных периодов должно быть рациональным числом:

$\frac{T_f}{T_g} = \frac{\pi\sqrt{5+a^2}}{\pi(\sqrt{125-4a}+1)} = \frac{\sqrt{5+a^2}}{\sqrt{125-4a}+1} = q$, где $q \in \mathbb{Q}$ и $q > 0$.

3. Проанализируем полученное уравнение.

Перепишем уравнение как $\sqrt{5+a^2} = q(\sqrt{125-4a}+1)$.

По условию, параметр $a$ — рациональное число. Так как $q$ также является рациональным числом, преобразуем уравнение:

$\sqrt{5+a^2} - q = q\sqrt{125-4a}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(5+a^2) - 2q\sqrt{5+a^2} + q^2 = q^2(125-4a)$

$5+a^2 + q^2 - 125q^2 + 4aq^2 = 2q\sqrt{5+a^2}$

Левая часть этого уравнения является рациональным числом, так как $a$ и $q$ рациональны. Следовательно, и правая часть $2q\sqrt{5+a^2}$ должна быть рациональным числом. Поскольку $q \in \mathbb{Q}$ и $q \ne 0$, это возможно только если $\sqrt{5+a^2}$ является рациональным числом.

Пусть $\sqrt{5+a^2} = u$, где $u \in \mathbb{Q}$.

Подставим это в исходное уравнение для $q$:

$\frac{u}{\sqrt{125-4a}+1} = q$.

Отсюда $\sqrt{125-4a}+1 = \frac{u}{q}$.

$\sqrt{125-4a} = \frac{u}{q} - 1$.

Так как $u$ и $q$ рациональны, правая часть этого уравнения также рациональна. Следовательно, $\sqrt{125-4a}$ тоже должно быть рациональным числом.

Пусть $\sqrt{125-4a} = v$, где $v \in \mathbb{Q}$.

Таким образом, задача сводится к нахождению всех рациональных $a$, для которых выполняются два условия:

1) $5+a^2 = u^2$ для некоторого $u \in \mathbb{Q}$.

2) $125-4a = v^2$ для некоторого $v \in \mathbb{Q}$.

4. Решим систему уравнений.

Из первого уравнения получаем $u^2 - a^2 = 5$.

Из второго уравнения $4a = 125 - v^2$, откуда $a = \frac{125-v^2}{4}$.

Подставим выражение для $a$ в первое уравнение:

$5 + \left(\frac{125-v^2}{4}\right)^2 = u^2$

$5 + \frac{(125-v^2)^2}{16} = u^2$

Умножим на 16:

$80 + (125-v^2)^2 = 16u^2 = (4u)^2$

$(4u)^2 - (125-v^2)^2 = 80$

Пусть $X=4u$ и $Y=125-v^2$. Так как $u, v$ рациональны, $X, Y$ также рациональны. Получаем диофантово уравнение:

$X^2 - Y^2 = 80$

$(X-Y)(X+Y) = 80$

Поскольку $X, Y$ рациональны, их сумма и разность также рациональны. Пусть $X-Y = A$ и $X+Y=B$, где $A, B$ — рациональные числа, и $AB=80$.

Тогда $X = \frac{A+B}{2}$ и $Y = \frac{B-A}{2}$.

Рассмотрим для начала целочисленные делители числа 80. Чтобы $X$ и $Y$ были целыми, $A$ и $B$ должны быть одинаковой четности. Так как их произведение 80 четное, то оба числа $A$ и $B$ должны быть четными.

Возможные пары четных делителей $(A, B)$:

• $(A,B)=(2, 40) \implies Y = \frac{40-2}{2} = 19$. Тогда $v^2 = 125 - Y = 125-19=106$. 106 не является квадратом рационального числа.
• $(A,B)=(4, 20) \implies Y = \frac{20-4}{2} = 8$. Тогда $v^2 = 125-8=117$. Не является квадратом.
• $(A,B)=(8, 10) \implies Y = \frac{10-8}{2} = 1$. Тогда $v^2 = 125-1=124$. Не является квадратом.
• $(A,B)=(40, 2) \implies Y = \frac{2-40}{2} = -19$. Тогда $v^2 = 125 - (-19) = 144 = 12^2$. Это дает рациональное решение для $v$.
• Рассмотрим также отрицательные пары. $(A,B)=(-2, -40) \implies Y = \frac{-40-(-2)}{2} = -19$. Это приводит к тому же результату $v^2=144$.

Итак, мы нашли возможное значение для $v^2$: $v^2=144$, откуда $v=12$ (или $v=-12$).

Теперь найдем соответствующее значение $a$ из уравнения $125-4a = v^2$:

$125 - 4a = 144$

$4a = 125 - 144$

$4a = -19$

$a = -\frac{19}{4}$

Это рациональное значение параметра $a$. Проверим, удовлетворяет ли оно первому условию $5+a^2 = u^2$.

$5 + \left(-\frac{19}{4}\right)^2 = 5 + \frac{361}{16} = \frac{80+361}{16} = \frac{441}{16} = \left(\frac{21}{4}\right)^2$.

Это выражение является квадратом рационального числа $u=\frac{21}{4}$.

Таким образом, значение $a = -19/4$ удовлетворяет обоим условиям.

Проверим также, что это значение входит в область определения функции $g(x)$: $a = -4.75 \le \frac{125}{4} = 31.25$. Условие выполнено.

При $a = -19/4$ отношение периодов равно:

$\frac{T_f}{T_g} = \frac{\sqrt{441/16}}{\sqrt{144}+1} = \frac{21/4}{12+1} = \frac{21/4}{13} = \frac{21}{52}$.

Это рациональное число, следовательно, функции имеют общий период.

Другие целочисленные разложения числа 80 не приводят к решению. Хотя существуют и другие рациональные разложения, они приводят к поиску рациональных точек на эллиптической кривой, что выходит за рамки стандартной программы. В контексте данной задачи найденное решение, скорее всего, является единственным.

Ответ: $a = -19/4$.

20.17. Найдите все рациональные значения параметра $a$, при которых функции $f(x) = \sin \frac{2ax}{a^2 + \sqrt{12}}$ и $g(x) = \operatorname{tg} \frac{2x}{1 - 2a + \sqrt{108}}$ имеют общий период.

Для того чтобы две периодические функции имели общий период, необходимо и достаточно, чтобы отношение их наименьших положительных периодов было рациональным числом.

Найдем наименьший положительный период функции $f(x) = \sin\frac{2ax}{a^2 + \sqrt{12}}$.

Наименьший положительный период функции $y = \sin(kx+b)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае коэффициент при $x$ равен $k_f = \frac{2a}{a^2 + \sqrt{12}}$. Период $T_f$ существует при $a \ne 0$.

$T_f = \frac{2\pi}{\left|\frac{2a}{a^2 + \sqrt{12}}\right|} = \frac{2\pi |a^2 + \sqrt{12}|}{|2a|}$.

По условию $a$ - рациональное число, поэтому $a^2 \ge 0$. Следовательно, $a^2 + \sqrt{12} > 0$, и $|a^2 + \sqrt{12}| = a^2 + \sqrt{12}$. Упростив $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, получаем:

$T_f = \frac{2\pi (a^2 + 2\sqrt{3})}{2|a|} = \frac{\pi(a^2 + 2\sqrt{3})}{|a|}$.

Найдем наименьший положительный период функции $g(x) = \tg\frac{2x}{1 - 2a + \sqrt{108}}$.

Наименьший положительный период функции $y = \tg(kx+b)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. В нашем случае коэффициент при $x$ равен $k_g = \frac{2}{1 - 2a + \sqrt{108}}$. Период $T_g$ существует, так как $k_g \ne 0$ (знаменатель не может быть равен 0 для рационального $a$). Упростив $\sqrt{108} = 6\sqrt{3}$, получаем:

$T_g = \frac{\pi}{\left|\frac{2}{1 - 2a + 6\sqrt{3}}\right|} = \frac{\pi |1 - 2a + 6\sqrt{3}|}{2}$.

Условие существования общего периода: отношение $\frac{T_f}{T_g}$ должно быть рациональным числом. Обозначим это число через $r$, где $r \in \mathbb{Q}$ и $r > 0$.

$\frac{T_f}{T_g} = \frac{\frac{\pi(a^2 + 2\sqrt{3})}{|a|}}{\frac{\pi |1 - 2a + 6\sqrt{3}|}{2}} = \frac{2(a^2 + 2\sqrt{3})}{|a| \cdot |1 - 2a + 6\sqrt{3}|} = r$.

Перепишем это уравнение:

$2(a^2 + 2\sqrt{3}) = r \cdot |a| \cdot |1 - 2a + 6\sqrt{3}|$,

$2a^2 + 4\sqrt{3} = r|a| |(1 - 2a) + 6\sqrt{3}|$.

Поскольку $a$ - рациональное число, $1-2a$ также рационально. Обозначим $R = r|a|$. Так как $r \in \mathbb{Q}, r > 0$ и $a \in \mathbb{Q}, a \ne 0$, то $R$ является положительным рациональным числом. Уравнение принимает вид:

$2a^2 + 4\sqrt{3} = R |(1 - 2a) + 6\sqrt{3}|$.

Выражение $(1 - 2a) + 6\sqrt{3}$ не может быть равно нулю для рационального $a$. Рассмотрим два случая в зависимости от его знака.

Случай 1: $1 - 2a + 6\sqrt{3} > 0$.

Тогда $|1 - 2a + 6\sqrt{3}| = 1 - 2a + 6\sqrt{3}$. Уравнение принимает вид:

$2a^2 + 4\sqrt{3} = R(1 - 2a + 6\sqrt{3}) = R(1 - 2a) + 6R\sqrt{3}$.

В левой и правой частях этого равенства стоят числа вида $A+B\sqrt{3}$, где $A$ и $B$ - рациональные числа. Такое равенство возможно тогда и только тогда, когда равны их рациональные и иррациональные части (коэффициенты при $\sqrt{3}$).

Приравниваем рациональные части: $2a^2 = R(1-2a)$.

Приравниваем коэффициенты при $\sqrt{3}$: $4 = 6R$.

Из второго уравнения находим $R = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Это значение удовлетворяет условию $R>0$.

Подставляем $R = \frac{2}{3}$ в первое уравнение:

$2a^2 = \frac{2}{3}(1-2a)$

$a^2 = \frac{1}{3}(1-2a)$

$3a^2 = 1 - 2a \implies 3a^2 + 2a - 1 = 0$.

Решаем квадратное уравнение относительно $a$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

$a_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}$.

$a_1 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$a_2 = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.

Оба найденных значения $a$ являются рациональными. Проверим для них исходное предположение $1 - 2a + 6\sqrt{3} > 0$:

При $a = 1/3$: $1 - 2(1/3) + 6\sqrt{3} = 1/3 + 6\sqrt{3} > 0$. Предположение верно.

При $a = -1$: $1 - 2(-1) + 6\sqrt{3} = 3 + 6\sqrt{3} > 0$. Предположение верно.

Следовательно, $a=1/3$ и $a=-1$ являются решениями задачи.

Случай 2: $1 - 2a + 6\sqrt{3} < 0$.

Тогда $|1 - 2a + 6\sqrt{3}| = -(1 - 2a + 6\sqrt{3}) = 2a - 1 - 6\sqrt{3}$. Уравнение принимает вид:

$2a^2 + 4\sqrt{3} = R(2a - 1 - 6\sqrt{3}) = R(2a - 1) - 6R\sqrt{3}$.

Приравнивая коэффициенты при $\sqrt{3}$, получаем: $4 = -6R$, откуда $R = -\frac{2}{3}$.

Это противоречит условию $R > 0$ (так как $R = r|a|$ и $r>0, |a|>0$). Следовательно, в этом случае решений нет.

Таким образом, единственными подходящими значениями параметра $a$ являются $1/3$ и $-1$.

Ответ: $a = \frac{1}{3}; a = -1$.

20.18. При каких целых значениях $n$ число $5\pi$ является периодом функции $f(x) = \cos nx \sin \frac{15x}{n^2}$?

Для того чтобы число $T = 5\pi$ было периодом функции $f(x) = \cos(nx)\sin\frac{15x}{n^2}$, должно выполняться равенство $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения функции. По условию, $n$ — целое число. Из вида функции следует, что $n \neq 0$.

Для удобства анализа преобразуем данную функцию из произведения в сумму, используя тригонометрическую формулу:

$\cos\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta))$

Применим эту формулу к нашей функции, где $\alpha = nx$ и $\beta = \frac{15x}{n^2}$:

$f(x) = \frac{1}{2}\left(\sin(nx + \frac{15x}{n^2}) - \sin(nx - \frac{15x}{n^2})\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\left(x\left(n + \frac{15}{n^2}\right)\right) - \sin\left(x\left(n - \frac{15}{n^2}\right)\right)\right)$

Число $T = 5\pi$ будет периодом функции $f(x)$, если оно является периодом для каждой из функций-слагаемых: $\sin\left(x\left(n + \frac{15}{n^2}\right)\right)$ и $\sin\left(x\left(n - \frac{15}{n^2}\right)\right)$.

Для функции вида $\sin(kx)$ любой период $T$ должен удовлетворять условию $k \cdot T = 2\pi m$ для некоторого целого числа $m$. Применим это условие к нашим функциям с $T=5\pi$:

1) $5\pi \cdot \left(n + \frac{15}{n^2}\right) = 2\pi k_1$

2) $5\pi \cdot \left(n - \frac{15}{n^2}\right) = 2\pi k_2$

где $k_1$ и $k_2$ — некоторые целые числа.

Сократим на $\pi$ и преобразуем уравнения:

1) $5 \cdot \frac{n^3+15}{n^2} = 2k_1 \implies 5(n^3+15) = 2k_1n^2$

2) $5 \cdot \frac{n^3-15}{n^2} = 2k_2 \implies 5(n^3-15) = 2k_2n^2$

Из этих уравнений следует, что выражения $5(n^3+15)$ и $5(n^3-15)$ должны делиться на $n^2$. Если два числа делятся на $n^2$, то и их разность также должна делиться на $n^2$.

$5(n^3+15) - 5(n^3-15) = (5n^3 + 75) - (5n^3 - 75) = 150$

Таким образом, $150$ должно быть кратно $n^2$. Это означает, что $n^2$ является делителем числа $150$. Поскольку $n$ — целое число, $n^2$ должно быть полным квадратом.

Выпишем все делители числа 150: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

Среди этих делителей найдем те, которые являются полными квадратами: 1 и 25.

Рассмотрим два возможных случая для $n^2$.

Случай 1: $n^2 = 1$

Это дает нам два значения: $n = 1$ и $n = -1$. Проверим их.

При $n=1$:

$5(1^3+15) = 5(16) = 80$. Подставляем в первое уравнение: $80 = 2k_1 \cdot 1^2 \implies k_1 = 40$. Это целое число.

$5(1^3-15) = 5(-14) = -70$. Подставляем во второе уравнение: $-70 = 2k_2 \cdot 1^2 \implies k_2 = -35$. Это целое число.

Оба условия выполнены, значит, $n=1$ является решением.

При $n=-1$:

$5((-1)^3+15) = 5(14) = 70$. Уравнение: $70 = 2k_1 \cdot (-1)^2 \implies k_1 = 35$. Целое число.

$5((-1)^3-15) = 5(-16) = -80$. Уравнение: $-80 = 2k_2 \cdot (-1)^2 \implies k_2 = -40$. Целое число.

Оба условия выполнены, значит, $n=-1$ является решением.

Случай 2: $n^2 = 25$

Это дает нам два значения: $n = 5$ и $n = -5$. Проверим их.

При $n=5$:

$5(5^3+15) = 5(125+15) = 5(140) = 700$. Уравнение: $700 = 2k_1 \cdot 5^2 = 50k_1 \implies k_1 = 14$. Целое число.

$5(5^3-15) = 5(125-15) = 5(110) = 550$. Уравнение: $550 = 2k_2 \cdot 5^2 = 50k_2 \implies k_2 = 11$. Целое число.

Оба условия выполнены, значит, $n=5$ является решением.

При $n=-5$:

$5((-5)^3+15) = 5(-125+15) = 5(-110) = -550$. Уравнение: $-550 = 2k_1 \cdot (-5)^2 = 50k_1 \implies k_1 = -11$. Целое число.

$5((-5)^3-15) = 5(-125-15) = 5(-140) = -700$. Уравнение: $-700 = 2k_2 \cdot (-5)^2 = 50k_2 \implies k_2 = -14$. Целое число.

Оба условия выполнены, значит, $n=-5$ является решением.

Все найденные значения $n$ удовлетворяют поставленным условиям.

Ответ: $n \in \{-5, -1, 1, 5\}$.

20.19. При каких целых значениях $n$ число $3\pi$ является периодом функции $f(x) = \cos 8nx \cos \frac{12x}{n^2}$?

Для того чтобы число $T=3\pi$ было периодом функции $f(x) = \cos(8nx)\cos\frac{12x}{n^2}$, необходимо и достаточно, чтобы для любого $x$ из области определения функции выполнялось равенство $f(x+T) = f(x)$.

Преобразуем данную функцию, используя формулу произведения косинусов: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

$f(x) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(8nx - \frac{12x}{n^2}\right) + \cos\left(8nx + \frac{12x}{n^2}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\left(8n - \frac{12}{n^2}\right)x\right) + \cos\left(\left(8n + \frac{12}{n^2}\right)x\right)\right)$.

Функция $f(x)$ представляет собой сумму двух гармонических колебаний. Число $T = 3\pi$ будет периодом функции $f(x)$, если оно является периодом для каждой из функций-слагаемых. То есть, $3\pi$ должно быть кратно наименьшему положительному периоду каждой из этих функций.

Период функции вида $\cos(kx)$ равен $\frac{2\pi}{|k|}$. Чтобы число $T$ было периодом функции $\cos(kx)$, необходимо, чтобы выполнялось условие $k \cdot T = 2\pi m$ для некоторого целого числа $m$.

Применим это условие к обоим слагаемым в нашей функции с $T = 3\pi$:

1) Для первого слагаемого: $\left(8n - \frac{12}{n^2}\right) \cdot 3\pi = 2\pi k_1$, где $k_1 \in \mathbb{Z}$.

2) Для второго слагаемого: $\left(8n + \frac{12}{n^2}\right) \cdot 3\pi = 2\pi k_2$, где $k_2 \in \mathbb{Z}$.

Сократим $ \pi $ в обоих уравнениях:

1) $3\left(8n - \frac{12}{n^2}\right) = 2k_1 \implies 24n - \frac{36}{n^2} = 2k_1 \implies 12n - \frac{18}{n^2} = k_1$.

2) $3\left(8n + \frac{12}{n^2}\right) = 2k_2 \implies 24n + \frac{36}{n^2} = 2k_2 \implies 12n + \frac{18}{n^2} = k_2$.

По условию задачи, $n$ — целое число. Следовательно, $12n$ также является целым числом. Для того чтобы $k_1$ и $k_2$ были целыми числами, необходимо, чтобы выражение $\frac{18}{n^2}$ было целым числом.

Это означает, что $n^2$ должно быть делителем числа 18. Также из вида функции следует, что $n \neq 0$.

Найдем все целые значения $n$, для которых $n^2$ является делителем 18.

Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Рассмотрим возможные значения для $n^2$:

• Если $n^2 = 1$, то $n = 1$ или $n = -1$.
• Если $n^2 = 2$, то $n = \pm\sqrt{2}$ (не целые числа).
• Если $n^2 = 3$, то $n = \pm\sqrt{3}$ (не целые числа).
• Если $n^2 = 6$, то $n = \pm\sqrt{6}$ (не целые числа).
• Если $n^2 = 9$, то $n = 3$ или $n = -3$.
• Если $n^2 = 18$, то $n = \pm\sqrt{18}$ (не целые числа).

Таким образом, целыми значениями $n$, удовлетворяющими условию, являются $\pm1$ и $\pm3$.

Ответ: $n \in \{-3, -1, 1, 3\}$.

20.20. Существует ли функция, для которой каждое иррациональное число является её периодом, однако не существует рационального числа, которое было бы её периодом?

Предположим, что такая функция $f(x)$ существует. Это означает, что выполняются два условия:

1. Для любого иррационального числа $T$ и для любого $x$ из области определения функции, $f(x+T) = f(x)$.
2. Для любого ненулевого рационального числа $q$ неверно, что $f(x+q) = f(x)$ для всех $x$ (т.е. ни одно ненулевое рациональное число не является периодом).

Докажем, что если функция удовлетворяет первому условию, то она обязательно является постоянной (константой). Для этого достаточно показать, что для любых двух чисел $a$ и $b$ из её области определения выполняется равенство $f(a) = f(b)$.

Рассмотрим разность этих двух чисел: $d = b - a$. Эта разность может быть либо иррациональным числом, либо рациональным.

Случай 1: разность $d = b-a$ является иррациональным числом.
По первому условию задачи, любое иррациональное число является периодом функции $f(x)$. Следовательно, $d$ — это период. По определению периода, для любого $x$ должно выполняться $f(x+d) = f(x)$. Взяв $x=a$, получаем $f(a+d) = f(a)$. Поскольку $a+d = a + (b-a) = b$, это равенство можно переписать как $f(b) = f(a)$.

Случай 2: разность $d = b-a$ является рациональным числом.
Выберем произвольное иррациональное число, например $T = \sqrt{2}$. Согласно первому условию, $T$ является периодом функции $f(x)$. Это означает, что $f(a) = f(a+T)$.
Теперь рассмотрим два числа: $b$ и $a+T$. Найдем их разность: $b - (a+T) = (b-a) - T = d - T$. Так как $d$ — рациональное число, а $T$ — иррациональное, их разность $d-T$ также является иррациональным числом.
Применяя результат, полученный в Случае 1, к паре чисел $b$ и $a+T$ (разность между которыми иррациональна), мы можем заключить, что значения функции в этих точках равны: $f(b) = f(a+T)$.
Итак, мы получили два равенства: $f(a) = f(a+T)$ и $f(b) = f(a+T)$. Из них следует, что $f(a) = f(b)$.

Мы показали, что в обоих случаях ($d$ иррационально и $d$ рационально) для любых $a$ и $b$ выполняется равенство $f(a)=f(b)$. Это означает, что функция $f(x)$ принимает одно и то же значение для всех аргументов, то есть является постоянной функцией. Пусть $f(x) = C$ для некоторой константы $C$.

Теперь проверим, удовлетворяет ли постоянная функция $f(x)=C$ второму условию задачи. Второе условие требует, чтобы ни одно рациональное число не было периодом функции. Возьмем любое ненулевое рациональное число $q$, например $q=1$. По определению, $q$ будет периодом, если $f(x+q) = f(x)$ для всех $x$. Для функции $f(x)=C$ имеем $f(x+1) = C$ и $f(x)=C$. Равенство $C=C$ истинно, следовательно, $q=1$ является периодом. Аналогично, любое ненулевое рациональное число является периодом постоянной функции.

Это прямо противоречит второму условию задачи. Противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение о существовании такой функции было неверным.

Ответ: нет, такой функции не существует.

20.21. Известно, что функция $y = (f(x))^3 + f(x)$ является периодической.

Докажите, что функция $f$ также является периодической.

Пусть задана функция $g(x) = (f(x))^3 + f(x)$. По условию, функция $g(x)$ является периодической. Это означает, что существует такое число $T \neq 0$ (период), что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $g(x+T) = g(x)$.

Подставим выражение для $g(x)$ в это равенство:

$(f(x+T))^3 + f(x+T) = (f(x))^3 + f(x)$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их:

$(f(x+T))^3 - (f(x))^3 + f(x+T) - f(x) = 0$

Разложим разность кубов на множители, используя формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$(f(x+T) - f(x)) \cdot ((f(x+T))^2 + f(x+T)f(x) + (f(x))^2) + (f(x+T) - f(x)) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(f(x+T) - f(x))$ за скобки:

$(f(x+T) - f(x)) \cdot [((f(x+T))^2 + f(x+T)f(x) + (f(x))^2) + 1] = 0$

Это уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Это возможно только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Рассмотрим второй множитель: $S = (f(x+T))^2 + f(x+T)f(x) + (f(x))^2 + 1$.

Преобразуем выражение в скобках, выделив полный квадрат. Пусть $a = f(x+T)$ и $b = f(x)$. Тогда:

$S = a^2 + ab + b^2 + 1 = (a^2 + ab + \frac{1}{4}b^2) - \frac{1}{4}b^2 + b^2 + 1 = (a + \frac{1}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2 + 1$

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(a + \frac{1}{2}b)^2 \geq 0$ и $\frac{3}{4}b^2 \geq 0$. Следовательно, наименьшее возможное значение этого выражения равно $0 + 0 + 1 = 1$.

Таким образом, второй множитель $S$ всегда строго положителен ($S \geq 1$) и никогда не может быть равен нулю.

Поскольку второй множитель не равен нулю, для выполнения равенства необходимо, чтобы первый множитель был равен нулю:

$f(x+T) - f(x) = 0$

Отсюда следует, что $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения функции.

Это равенство по определению означает, что функция $f(x)$ является периодической с периодом $T$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

20.22. Функция $f$ такова, что функция $y = (f(x))^2 + f(x)$ – периодическая.

Обязательно ли функция $f$ также является периодической?

Нет, не обязательно. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример — функцию $f(x)$, которая не является периодической, в то время как функция $y = (f(x))^2 + f(x)$ является периодической.

Рассмотрим условие периодичности функции $y$. Пусть $g(x) = (f(x))^2 + f(x)$. Если $g(x)$ периодическая с периодом $T \neq 0$, то для любого $x$ из области определения выполняется равенство:

$g(x+T) = g(x)$

$(f(x+T))^2 + f(x+T) = (f(x))^2 + f(x)$

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем:

$\left((f(x+T))^2 - (f(x))^2\right) + (f(x+T) - f(x)) = 0$

Разложим разность квадратов на множители:

$(f(x+T) - f(x))(f(x+T) + f(x)) + (f(x+T) - f(x)) = 0$

Вынесем общий множитель $(f(x+T) - f(x))$ за скобки:

$(f(x+T) - f(x))(f(x+T) + f(x) + 1) = 0$

Это равенство означает, что для каждого значения $x$ должно выполняться хотя бы одно из двух условий:

1. $f(x+T) = f(x)$

2. $f(x+T) = -f(x) - 1$

Для того чтобы функция $f(x)$ была периодической с периодом $T$, необходимо, чтобы для всех $x$ выполнялось первое условие. Однако, исходное условие позволяет "переключаться" между этими двумя вариантами для разных $x$. Это позволяет построить непериодическую функцию $f(x)$, для которой $g(x)$ будет периодической.

В качестве контрпримера рассмотрим следующую функцию $f(x)$.

Пусть $s_n$ — последовательность Туэ-Морса, где $s_n$ равно количеству единиц в двоичной записи неотрицательного целого числа $n$ по модулю 2. Последовательность начинается так: $0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, \ldots$. Эта последовательность является непериодической.

Определим функцию $f(x)$ через эту последовательность:

$f(x) = -s_{\lfloor x \rfloor}$

где $\lfloor x \rfloor$ — целая часть числа $x$ (пол).

Поскольку последовательность $s_n$ не является периодической, построенная на ее основе ступенчатая функция $f(x)$ также не является периодической.

При этом функция $f(x)$ принимает только два значения: $0$ (когда $s_{\lfloor x \rfloor}=0$) и $-1$ (когда $s_{\lfloor x \rfloor}=1$).

Теперь рассмотрим функцию $y = (f(x))^2 + f(x)$.

Проверим ее значения в зависимости от значений $f(x)$:

• Если $f(x) = 0$, то $y = (0)^2 + 0 = 0$.
• Если $f(x) = -1$, то $y = (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$.

Таким образом, для любого действительного $x$ значение функции $y = (f(x))^2 + f(x)$ всегда равно $0$.

Функция $y(x)=0$ является константой, а любая константа — периодическая функция (ее периодом может быть любое действительное число $T \neq 0$).

Следовательно, мы построили непериодическую функцию $f(x)$, для которой функция $y = (f(x))^2 + f(x)$ является периодической. Это доказывает, что из периодичности $y$ не следует периодичность $f$.

Ответ: не обязательно.

20.23. Функция $f$ такова, что $f(0) = 1$ и при всех $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство $f(x+2) = \frac{f(x)}{5f(x)-1}$. Найдите $f(100)$.

По условию задачи нам дана функция $f(x)$, для которой известно, что $f(0) = 1$ и для любого действительного числа $x$ выполняется равенство $f(x + 2) = \frac{f(x)}{5f(x) - 1}$. Нам необходимо найти значение $f(100)$.

Для нахождения $f(100)$ мы можем последовательно вычислять значения функции в точках с шагом 2, начиная с $x=0$.

Найдем $f(2)$, подставив $x=0$ в данное равенство: $f(2) = f(0 + 2) = \frac{f(0)}{5f(0) - 1} = \frac{1}{5 \cdot 1 - 1} = \frac{1}{4}$.

Теперь найдем $f(4)$, подставив $x=2$: $f(4) = f(2 + 2) = \frac{f(2)}{5f(2) - 1} = \frac{1/4}{5 \cdot (1/4) - 1} = \frac{1/4}{5/4 - 1} = \frac{1/4}{1/4} = 1$.

Мы видим, что $f(4) = f(0) = 1$. Это позволяет предположить, что функция может быть периодической. Давайте проверим это, найдя выражение для $f(x+4)$. Мы можем сделать это, применив данное в условии равенство дважды.

Выразим $f(x+4)$ через $f(x+2)$: $f(x+4) = f((x+2) + 2) = \frac{f(x+2)}{5f(x+2) - 1}$.

Теперь подставим в это выражение формулу для $f(x+2)$, выраженную через $f(x)$: $f(x+4) = \frac{\frac{f(x)}{5f(x) - 1}}{5 \cdot \frac{f(x)}{5f(x) - 1} - 1}$.

Упростим полученное многоэтажное дробное выражение. Для этого приведем слагаемые в знаменателе к общему знаменателю: $f(x+4) = \frac{\frac{f(x)}{5f(x) - 1}}{\frac{5f(x)}{5f(x) - 1} - \frac{5f(x) - 1}{5f(x) - 1}} = \frac{\frac{f(x)}{5f(x) - 1}}{\frac{5f(x) - (5f(x) - 1)}{5f(x) - 1}} = \frac{\frac{f(x)}{5f(x) - 1}}{\frac{5f(x) - 5f(x) + 1}{5f(x) - 1}} = \frac{\frac{f(x)}{5f(x) - 1}}{\frac{1}{5f(x) - 1}}$.

Сократив числитель и знаменатель на $(5f(x) - 1)$, получаем: $f(x+4) = f(x)$.

Это означает, что функция $f(x)$ является периодической с периодом $4$.

Теперь мы можем легко найти $f(100)$. Так как $100$ кратно периоду $4$, мы можем записать $100 = 25 \cdot 4$. Используя свойство периодичности $f(x+nT) = f(x)$ (где $T$ - период, а $n$ - целое число), мы получим: $f(100) = f(0 + 25 \cdot 4) = f(0)$.

По условию задачи, $f(0) = 1$. Следовательно, $f(100) = 1$.

Ответ: $1$

20.24. Функция $f$ такова, что при всех $x \in R$ выполняется равенство $f(x+1) = \frac{f(x)-1}{f(x)+1}$. Докажите, что $f$ — периодическая функция.

Чтобы доказать, что функция $f$ является периодической, нужно показать, что существует такое число $T \ne 0$ (называемое периодом), что для всех $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$.

Воспользуемся данным в условии равенством $f(x + 1) = \frac{f(x) - 1}{f(x) + 1}$ и последовательно найдем выражения для $f(x + 2)$, $f(x + 3)$ и $f(x + 4)$.

1. Найдем $f(x + 2)$. Для этого в исходном равенстве заменим $x$ на $x + 1$:$f(x + 2) = f((x + 1) + 1) = \frac{f(x + 1) - 1}{f(x + 1) + 1}$

Теперь подставим в это выражение $f(x + 1) = \frac{f(x) - 1}{f(x) + 1}$:$f(x + 2) = \frac{\frac{f(x) - 1}{f(x) + 1} - 1}{\frac{f(x) - 1}{f(x) + 1} + 1}$

Упростим полученное выражение, приведя к общему знаменателю в числителе и знаменателе дроби:$f(x + 2) = \frac{\frac{f(x) - 1 - (f(x) + 1)}{f(x) + 1}}{\frac{f(x) - 1 + (f(x) + 1)}{f(x) + 1}} = \frac{\frac{f(x) - 1 - f(x) - 1}{f(x) + 1}}{\frac{f(x) - 1 + f(x) + 1}{f(x) + 1}} = \frac{\frac{-2}{f(x) + 1}}{\frac{2f(x)}{f(x) + 1}}$

Сократив дробь, получим:$f(x + 2) = \frac{-2}{2f(x)} = -\frac{1}{f(x)}$

2. Теперь, используя полученное соотношение $f(x + 2) = -\frac{1}{f(x)}$, найдем $f(x + 4)$. Для этого в этом новом равенстве заменим $x$ на $x + 2$:$f(x + 4) = f((x + 2) + 2) = -\frac{1}{f(x + 2)}$

Подставим в правую часть выражение для $f(x+2)$, которое мы нашли на предыдущем шаге:$f(x + 4) = -\frac{1}{-\frac{1}{f(x)}} = f(x)$

Мы получили, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + 4) = f(x)$. Это по определению означает, что функция $f$ является периодической, и $T = 4$ является одним из ее периодов.
Ответ: Утверждение доказано. Функция является периодической с периодом $T=4$.