Номер 20.18, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.18. При каких целых значениях $n$ число $5\pi$ является периодом функции $f(x) = \cos nx \sin \frac{15x}{n^2}$?

Для того чтобы число $T = 5\pi$ было периодом функции $f(x) = \cos(nx)\sin\frac{15x}{n^2}$, должно выполняться равенство $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения функции. По условию, $n$ — целое число. Из вида функции следует, что $n \neq 0$.

Для удобства анализа преобразуем данную функцию из произведения в сумму, используя тригонометрическую формулу:

$\cos\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta))$

Применим эту формулу к нашей функции, где $\alpha = nx$ и $\beta = \frac{15x}{n^2}$:

$f(x) = \frac{1}{2}\left(\sin(nx + \frac{15x}{n^2}) - \sin(nx - \frac{15x}{n^2})\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\left(x\left(n + \frac{15}{n^2}\right)\right) - \sin\left(x\left(n - \frac{15}{n^2}\right)\right)\right)$

Число $T = 5\pi$ будет периодом функции $f(x)$, если оно является периодом для каждой из функций-слагаемых: $\sin\left(x\left(n + \frac{15}{n^2}\right)\right)$ и $\sin\left(x\left(n - \frac{15}{n^2}\right)\right)$.

Для функции вида $\sin(kx)$ любой период $T$ должен удовлетворять условию $k \cdot T = 2\pi m$ для некоторого целого числа $m$. Применим это условие к нашим функциям с $T=5\pi$:

1) $5\pi \cdot \left(n + \frac{15}{n^2}\right) = 2\pi k_1$

2) $5\pi \cdot \left(n - \frac{15}{n^2}\right) = 2\pi k_2$

где $k_1$ и $k_2$ — некоторые целые числа.

Сократим на $\pi$ и преобразуем уравнения:

1) $5 \cdot \frac{n^3+15}{n^2} = 2k_1 \implies 5(n^3+15) = 2k_1n^2$

2) $5 \cdot \frac{n^3-15}{n^2} = 2k_2 \implies 5(n^3-15) = 2k_2n^2$

Из этих уравнений следует, что выражения $5(n^3+15)$ и $5(n^3-15)$ должны делиться на $n^2$. Если два числа делятся на $n^2$, то и их разность также должна делиться на $n^2$.

$5(n^3+15) - 5(n^3-15) = (5n^3 + 75) - (5n^3 - 75) = 150$

Таким образом, $150$ должно быть кратно $n^2$. Это означает, что $n^2$ является делителем числа $150$. Поскольку $n$ — целое число, $n^2$ должно быть полным квадратом.

Выпишем все делители числа 150: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

Среди этих делителей найдем те, которые являются полными квадратами: 1 и 25.

Рассмотрим два возможных случая для $n^2$.

Случай 1: $n^2 = 1$

Это дает нам два значения: $n = 1$ и $n = -1$. Проверим их.

При $n=1$:

$5(1^3+15) = 5(16) = 80$. Подставляем в первое уравнение: $80 = 2k_1 \cdot 1^2 \implies k_1 = 40$. Это целое число.

$5(1^3-15) = 5(-14) = -70$. Подставляем во второе уравнение: $-70 = 2k_2 \cdot 1^2 \implies k_2 = -35$. Это целое число.

Оба условия выполнены, значит, $n=1$ является решением.

При $n=-1$:

$5((-1)^3+15) = 5(14) = 70$. Уравнение: $70 = 2k_1 \cdot (-1)^2 \implies k_1 = 35$. Целое число.

$5((-1)^3-15) = 5(-16) = -80$. Уравнение: $-80 = 2k_2 \cdot (-1)^2 \implies k_2 = -40$. Целое число.

Оба условия выполнены, значит, $n=-1$ является решением.

Случай 2: $n^2 = 25$

Это дает нам два значения: $n = 5$ и $n = -5$. Проверим их.

При $n=5$:

$5(5^3+15) = 5(125+15) = 5(140) = 700$. Уравнение: $700 = 2k_1 \cdot 5^2 = 50k_1 \implies k_1 = 14$. Целое число.

$5(5^3-15) = 5(125-15) = 5(110) = 550$. Уравнение: $550 = 2k_2 \cdot 5^2 = 50k_2 \implies k_2 = 11$. Целое число.

Оба условия выполнены, значит, $n=5$ является решением.

При $n=-5$:

$5((-5)^3+15) = 5(-125+15) = 5(-110) = -550$. Уравнение: $-550 = 2k_1 \cdot (-5)^2 = 50k_1 \implies k_1 = -11$. Целое число.

$5((-5)^3-15) = 5(-125-15) = 5(-140) = -700$. Уравнение: $-700 = 2k_2 \cdot (-5)^2 = 50k_2 \implies k_2 = -14$. Целое число.

Оба условия выполнены, значит, $n=-5$ является решением.

Все найденные значения $n$ удовлетворяют поставленным условиям.

Ответ: $n \in \{-5, -1, 1, 5\}$.