Номер 20.19, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.19. При каких целых значениях $n$ число $3\pi$ является периодом функции $f(x) = \cos 8nx \cos \frac{12x}{n^2}$?

Для того чтобы число $T=3\pi$ было периодом функции $f(x) = \cos(8nx)\cos\frac{12x}{n^2}$, необходимо и достаточно, чтобы для любого $x$ из области определения функции выполнялось равенство $f(x+T) = f(x)$.

Преобразуем данную функцию, используя формулу произведения косинусов: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

$f(x) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(8nx - \frac{12x}{n^2}\right) + \cos\left(8nx + \frac{12x}{n^2}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\left(8n - \frac{12}{n^2}\right)x\right) + \cos\left(\left(8n + \frac{12}{n^2}\right)x\right)\right)$.

Функция $f(x)$ представляет собой сумму двух гармонических колебаний. Число $T = 3\pi$ будет периодом функции $f(x)$, если оно является периодом для каждой из функций-слагаемых. То есть, $3\pi$ должно быть кратно наименьшему положительному периоду каждой из этих функций.

Период функции вида $\cos(kx)$ равен $\frac{2\pi}{|k|}$. Чтобы число $T$ было периодом функции $\cos(kx)$, необходимо, чтобы выполнялось условие $k \cdot T = 2\pi m$ для некоторого целого числа $m$.

Применим это условие к обоим слагаемым в нашей функции с $T = 3\pi$:

1) Для первого слагаемого: $\left(8n - \frac{12}{n^2}\right) \cdot 3\pi = 2\pi k_1$, где $k_1 \in \mathbb{Z}$.

2) Для второго слагаемого: $\left(8n + \frac{12}{n^2}\right) \cdot 3\pi = 2\pi k_2$, где $k_2 \in \mathbb{Z}$.

Сократим $ \pi $ в обоих уравнениях:

1) $3\left(8n - \frac{12}{n^2}\right) = 2k_1 \implies 24n - \frac{36}{n^2} = 2k_1 \implies 12n - \frac{18}{n^2} = k_1$.

2) $3\left(8n + \frac{12}{n^2}\right) = 2k_2 \implies 24n + \frac{36}{n^2} = 2k_2 \implies 12n + \frac{18}{n^2} = k_2$.

По условию задачи, $n$ — целое число. Следовательно, $12n$ также является целым числом. Для того чтобы $k_1$ и $k_2$ были целыми числами, необходимо, чтобы выражение $\frac{18}{n^2}$ было целым числом.

Это означает, что $n^2$ должно быть делителем числа 18. Также из вида функции следует, что $n \neq 0$.

Найдем все целые значения $n$, для которых $n^2$ является делителем 18.

Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Рассмотрим возможные значения для $n^2$:

• Если $n^2 = 1$, то $n = 1$ или $n = -1$.
• Если $n^2 = 2$, то $n = \pm\sqrt{2}$ (не целые числа).
• Если $n^2 = 3$, то $n = \pm\sqrt{3}$ (не целые числа).
• Если $n^2 = 6$, то $n = \pm\sqrt{6}$ (не целые числа).
• Если $n^2 = 9$, то $n = 3$ или $n = -3$.
• Если $n^2 = 18$, то $n = \pm\sqrt{18}$ (не целые числа).

Таким образом, целыми значениями $n$, удовлетворяющими условию, являются $\pm1$ и $\pm3$.

Ответ: $n \in \{-3, -1, 1, 3\}$.