Номер 21.1, страница 162 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.1. На каких из указанных промежутков функция $y = \sin x$ возрастает:

1) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}];$

2) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}];$

3) $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}];$

4) $[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]?$

Функция $y = \sin x$ является возрастающей на тех промежутках, где ее производная неотрицательна. Найдем производную функции:$y' = (\sin x)' = \cos x$. Следовательно, нам нужно определить, на каких из предложенных промежутков выполняется условие $\cos x \ge 0$. Общие промежутки, на которых $\cos x \ge 0$, имеют вид $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).Рассмотрим каждый из предложенных промежутков.

1) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
Этот промежуток соответствует общему виду $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ при $k=0$. На этом интервале $\cos x \ge 0$, поэтому функция $y = \sin x$ возрастает.
Ответ: возрастает.

2) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$
Этот промежуток можно разбить на два: $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ и $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$. На первом участке функция возрастает, так как на нем $\cos x \ge 0$. На втором участке, $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$, функция убывает, так как на нем $\cos x \le 0$. Поскольку на всем промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ функция не сохраняет характер монотонности, она не является возрастающей на этом промежутке.
Ответ: не возрастает.

3) $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}]$
На этом промежутке производная $y' = \cos x \le 0$. Следовательно, функция $y = \sin x$ убывает. Например, $\sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$ и $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. При увеличении аргумента значение функции уменьшается.
Ответ: не возрастает.

4) $[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]$?
Данный промежуток соответствует общему виду промежутка возрастания $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ при $k=-1$:$[-\frac{\pi}{2} + 2\pi(-1); \frac{\pi}{2} + 2\pi(-1)] = [-\frac{\pi}{2} - 2\pi; \frac{\pi}{2} - 2\pi] = [-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]$. На этом интервале $\cos x \ge 0$, поэтому функция $y = \sin x$ возрастает.
Ответ: возрастает.