Номер 21.2, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.2. Какие из данных промежутков являются промежутками убывания функции $y = \cos x$:

1) $[ - \frac{5\pi}{2}; - \frac{3\pi}{2} ]$;

2) $[ -2\pi; -\pi ]$;

3) $[ - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} ]$;

4) $[ 6\pi; 7\pi ]?$

Функция $y = \cos x$ убывает на тех промежутках, где ее производная $y'$ неположительна, то есть $y' \le 0$.

Найдем производную функции: $y' = (\cos x)' = -\sin x$.

Решим неравенство $-\sin x \le 0$, что эквивалентно $\sin x \ge 0$.

Это неравенство выполняется для $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, промежутки убывания функции $y = \cos x$ имеют вид $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь проверим каждый из предложенных промежутков.

1) $[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]$

Рассмотрим поведение функции на этом отрезке. В точке $x = -\frac{5\pi}{2}$ значение функции $y = \cos(-\frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. В точке $x = -2\pi$, которая принадлежит данному промежутку, значение функции $y = \cos(-2\pi) = \cos(2\pi) = 1$. В точке $x = -\frac{3\pi}{2}$ значение функции $y = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$. Так как на отрезке $[-\frac{5\pi}{2}; -2\pi]$ функция возрастает (от 0 до 1), а на отрезке $[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}]$ убывает (от 1 до 0), то весь промежуток $[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]$ не является промежутком убывания.

Ответ: не является.

2) $[-2\pi; -\pi]$

Сравним данный промежуток с общей формулой промежутков убывания $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$. Если взять $k = -1$, то получим промежуток $[2\pi(-1), \pi + 2\pi(-1)] = [-2\pi, \pi - 2\pi] = [-2\pi, -\pi]$. Данный промежуток в точности совпадает с одним из промежутков убывания функции.

Ответ: является.

3) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

Рассмотрим поведение функции на этом отрезке. В точке $x = -\frac{\pi}{2}$ значение функции $y = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$. В точке $x = 0$ значение функции $y = \cos(0) = 1$. В точке $x = \frac{\pi}{2}$ значение функции $y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Так как на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ функция возрастает (от 0 до 1), а на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ убывает (от 1 до 0), то весь промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ не является промежутком убывания.

Ответ: не является.

4) $[6\pi; 7\pi]$

Сравним данный промежуток с общей формулой промежутков убывания $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$. Если взять $k = 3$, то получим промежуток $[2\pi(3), \pi + 2\pi(3)] = [6\pi, \pi + 6\pi] = [6\pi, 7\pi]$. Данный промежуток в точности совпадает с одним из промежутков убывания функции.

Ответ: является.