Номер 21.3, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.3. Сравните:

1) $ \sin 20^{\circ} $ и $ \sin 21^{\circ} $;

2) $ \cos 20^{\circ} $ и $ \cos 21^{\circ} $;

3) $ \sin \frac{10\pi}{9} $ и $ \sin \frac{25\pi}{18} $;

4) $ \cos \frac{10\pi}{9} $ и $ \cos \frac{25\pi}{18} $;

5) $ \cos 5,1 $ и $ \cos 5 $;

6) $ \sin 2 $ и $ \sin 2,1 $.

1) sin 20° и sin 21°
Углы 20° и 21° принадлежат первой четверти, то есть интервалу $(0°; 90°)$. На этом интервале функция $y = \sin x$ возрастает. Поскольку $20° < 21°$, то и значения синусов будут в том же соотношении: $\sin 20° < \sin 21°$.
Ответ: $\sin 20° < \sin 21°$.

2) cos 20° и cos 21°
Углы 20° и 21° принадлежат первой четверти, то есть интервалу $(0°; 90°)$. На этом интервале функция $y = \cos x$ убывает. Поскольку $20° < 21°$, то для значений косинусов соотношение будет обратным: $\cos 20° > \cos 21°$.
Ответ: $\cos 20° > \cos 21°$.

3) sin $\frac{10\pi}{9}$ и sin $\frac{25\pi}{18}$
Приведем углы к общему знаменателю 18: $\frac{10\pi}{9} = \frac{20\pi}{18}$. Теперь сравним углы $\frac{20\pi}{18}$ и $\frac{25\pi}{18}$. Оба угла находятся в третьей четверти, так как $\pi = \frac{18\pi}{18}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{27\pi}{18}$. Таким образом, $\pi < \frac{20\pi}{18} < \frac{25\pi}{18} < \frac{3\pi}{2}$. На интервале $(\pi; \frac{3\pi}{2})$ функция $y = \sin x$ убывает. Поскольку $\frac{20\pi}{18} < \frac{25\pi}{18}$, то для значений синусов соотношение будет обратным: $\sin \frac{20\pi}{18} > \sin \frac{25\pi}{18}$. Следовательно, $\sin \frac{10\pi}{9} > \sin \frac{25\pi}{18}$.
Ответ: $\sin \frac{10\pi}{9} > \sin \frac{25\pi}{18}$.

4) cos $\frac{10\pi}{9}$ и cos $\frac{25\pi}{18}$
Как и в предыдущем пункте, приведем углы к общему знаменателю: $\frac{10\pi}{9} = \frac{20\pi}{18}$. Оба угла, $\frac{20\pi}{18}$ и $\frac{25\pi}{18}$, находятся в третьей четверти $(\pi; \frac{3\pi}{2})$. На этом интервале функция $y = \cos x$ возрастает (значения меняются от -1 до 0). Поскольку $\frac{20\pi}{18} < \frac{25\pi}{18}$, то и значения косинусов будут в том же соотношении: $\cos \frac{20\pi}{18} < \cos \frac{25\pi}{18}$. Следовательно, $\cos \frac{10\pi}{9} < \cos \frac{25\pi}{18}$.
Ответ: $\cos \frac{10\pi}{9} < \cos \frac{25\pi}{18}$.

5) cos 5,1 и cos 5
Углы 5 и 5,1 даны в радианах. Определим, в какой четверти они находятся, используя приближенные значения: $\pi \approx 3,14$; $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$; $2\pi \approx 6,28$. Оба угла, 5 и 5,1, принадлежат интервалу $(\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$, то есть находятся в четвертой четверти. На этом интервале функция $y = \cos x$ возрастает. Поскольку $5 < 5,1$, то и значения косинусов будут в том же соотношении: $\cos 5 < \cos 5,1$.
Ответ: $\cos 5,1 > \cos 5$.

6) sin 2 и sin 2,1
Углы 2 и 2,1 даны в радианах. Определим, в какой четверти они находятся, используя приближенные значения: $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$; $\pi \approx 3,14$. Оба угла, 2 и 2,1, принадлежат интервалу $(\frac{\pi}{2}; \pi)$, то есть находятся во второй четверти. На этом интервале функция $y = \sin x$ убывает. Поскольку $2 < 2,1$, то для значений синусов соотношение будет обратным: $\sin 2 > \sin 2,1$.
Ответ: $\sin 2 > \sin 2,1$.