Номер 20.21, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.21. Известно, что функция $y = (f(x))^3 + f(x)$ является периодической.

Докажите, что функция $f$ также является периодической.

Пусть задана функция $g(x) = (f(x))^3 + f(x)$. По условию, функция $g(x)$ является периодической. Это означает, что существует такое число $T \neq 0$ (период), что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $g(x+T) = g(x)$.

Подставим выражение для $g(x)$ в это равенство:

$(f(x+T))^3 + f(x+T) = (f(x))^3 + f(x)$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их:

$(f(x+T))^3 - (f(x))^3 + f(x+T) - f(x) = 0$

Разложим разность кубов на множители, используя формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$(f(x+T) - f(x)) \cdot ((f(x+T))^2 + f(x+T)f(x) + (f(x))^2) + (f(x+T) - f(x)) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(f(x+T) - f(x))$ за скобки:

$(f(x+T) - f(x)) \cdot [((f(x+T))^2 + f(x+T)f(x) + (f(x))^2) + 1] = 0$

Это уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Это возможно только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Рассмотрим второй множитель: $S = (f(x+T))^2 + f(x+T)f(x) + (f(x))^2 + 1$.

Преобразуем выражение в скобках, выделив полный квадрат. Пусть $a = f(x+T)$ и $b = f(x)$. Тогда:

$S = a^2 + ab + b^2 + 1 = (a^2 + ab + \frac{1}{4}b^2) - \frac{1}{4}b^2 + b^2 + 1 = (a + \frac{1}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2 + 1$

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(a + \frac{1}{2}b)^2 \geq 0$ и $\frac{3}{4}b^2 \geq 0$. Следовательно, наименьшее возможное значение этого выражения равно $0 + 0 + 1 = 1$.

Таким образом, второй множитель $S$ всегда строго положителен ($S \geq 1$) и никогда не может быть равен нулю.

Поскольку второй множитель не равен нулю, для выполнения равенства необходимо, чтобы первый множитель был равен нулю:

$f(x+T) - f(x) = 0$

Отсюда следует, что $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения функции.

Это равенство по определению означает, что функция $f(x)$ является периодической с периодом $T$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.