Номер 20.16, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.16. Найдите все рациональные значения параметра $a$, при которых функции $f(x) = \cos \frac{2x}{\sqrt{5 + a^2}}$ и $g(x) = \operatorname{tg} \frac{x}{\sqrt{125 - 4a} + 1}$ имеют общий период.

Для того чтобы две периодические функции имели общий период, необходимо и достаточно, чтобы отношение их основных периодов было рациональным числом.

1. Найдем основные периоды функций $f(x)$ и $g(x)$.

Функция $f(x) = \cos\left(\frac{2x}{\sqrt{5+a^2}}\right)$ имеет вид $\cos(kx)$, где $k = \frac{2}{\sqrt{5+a^2}}$. Ее основной период $T_f$ равен:

$T_f = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{\left|\frac{2}{\sqrt{5+a^2}}\right|} = \pi\sqrt{5+a^2}$.

Эта функция определена для любого действительного $a$, так как $5+a^2 > 0$.

Функция $g(x) = \text{tg}\left(\frac{x}{\sqrt{125-4a}+1}\right)$ имеет вид $\text{tg}(mx)$, где $m = \frac{1}{\sqrt{125-4a}+1}$. Ее основной период $T_g$ равен:

$T_g = \frac{\pi}{|m|} = \frac{\pi}{\left|\frac{1}{\sqrt{125-4a}+1}\right|} = \pi(\sqrt{125-4a}+1)$.

Эта функция определена при условии $125-4a \ge 0$, то есть $a \le \frac{125}{4}$.

2. Запишем условие существования общего периода.

Отношение основных периодов должно быть рациональным числом:

$\frac{T_f}{T_g} = \frac{\pi\sqrt{5+a^2}}{\pi(\sqrt{125-4a}+1)} = \frac{\sqrt{5+a^2}}{\sqrt{125-4a}+1} = q$, где $q \in \mathbb{Q}$ и $q > 0$.

3. Проанализируем полученное уравнение.

Перепишем уравнение как $\sqrt{5+a^2} = q(\sqrt{125-4a}+1)$.

По условию, параметр $a$ — рациональное число. Так как $q$ также является рациональным числом, преобразуем уравнение:

$\sqrt{5+a^2} - q = q\sqrt{125-4a}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(5+a^2) - 2q\sqrt{5+a^2} + q^2 = q^2(125-4a)$

$5+a^2 + q^2 - 125q^2 + 4aq^2 = 2q\sqrt{5+a^2}$

Левая часть этого уравнения является рациональным числом, так как $a$ и $q$ рациональны. Следовательно, и правая часть $2q\sqrt{5+a^2}$ должна быть рациональным числом. Поскольку $q \in \mathbb{Q}$ и $q \ne 0$, это возможно только если $\sqrt{5+a^2}$ является рациональным числом.

Пусть $\sqrt{5+a^2} = u$, где $u \in \mathbb{Q}$.

Подставим это в исходное уравнение для $q$:

$\frac{u}{\sqrt{125-4a}+1} = q$.

Отсюда $\sqrt{125-4a}+1 = \frac{u}{q}$.

$\sqrt{125-4a} = \frac{u}{q} - 1$.

Так как $u$ и $q$ рациональны, правая часть этого уравнения также рациональна. Следовательно, $\sqrt{125-4a}$ тоже должно быть рациональным числом.

Пусть $\sqrt{125-4a} = v$, где $v \in \mathbb{Q}$.

Таким образом, задача сводится к нахождению всех рациональных $a$, для которых выполняются два условия:

1) $5+a^2 = u^2$ для некоторого $u \in \mathbb{Q}$.

2) $125-4a = v^2$ для некоторого $v \in \mathbb{Q}$.

4. Решим систему уравнений.

Из первого уравнения получаем $u^2 - a^2 = 5$.

Из второго уравнения $4a = 125 - v^2$, откуда $a = \frac{125-v^2}{4}$.

Подставим выражение для $a$ в первое уравнение:

$5 + \left(\frac{125-v^2}{4}\right)^2 = u^2$

$5 + \frac{(125-v^2)^2}{16} = u^2$

Умножим на 16:

$80 + (125-v^2)^2 = 16u^2 = (4u)^2$

$(4u)^2 - (125-v^2)^2 = 80$

Пусть $X=4u$ и $Y=125-v^2$. Так как $u, v$ рациональны, $X, Y$ также рациональны. Получаем диофантово уравнение:

$X^2 - Y^2 = 80$

$(X-Y)(X+Y) = 80$

Поскольку $X, Y$ рациональны, их сумма и разность также рациональны. Пусть $X-Y = A$ и $X+Y=B$, где $A, B$ — рациональные числа, и $AB=80$.

Тогда $X = \frac{A+B}{2}$ и $Y = \frac{B-A}{2}$.

Рассмотрим для начала целочисленные делители числа 80. Чтобы $X$ и $Y$ были целыми, $A$ и $B$ должны быть одинаковой четности. Так как их произведение 80 четное, то оба числа $A$ и $B$ должны быть четными.

Возможные пары четных делителей $(A, B)$:

• $(A,B)=(2, 40) \implies Y = \frac{40-2}{2} = 19$. Тогда $v^2 = 125 - Y = 125-19=106$. 106 не является квадратом рационального числа.
• $(A,B)=(4, 20) \implies Y = \frac{20-4}{2} = 8$. Тогда $v^2 = 125-8=117$. Не является квадратом.
• $(A,B)=(8, 10) \implies Y = \frac{10-8}{2} = 1$. Тогда $v^2 = 125-1=124$. Не является квадратом.
• $(A,B)=(40, 2) \implies Y = \frac{2-40}{2} = -19$. Тогда $v^2 = 125 - (-19) = 144 = 12^2$. Это дает рациональное решение для $v$.
• Рассмотрим также отрицательные пары. $(A,B)=(-2, -40) \implies Y = \frac{-40-(-2)}{2} = -19$. Это приводит к тому же результату $v^2=144$.

Итак, мы нашли возможное значение для $v^2$: $v^2=144$, откуда $v=12$ (или $v=-12$).

Теперь найдем соответствующее значение $a$ из уравнения $125-4a = v^2$:

$125 - 4a = 144$

$4a = 125 - 144$

$4a = -19$

$a = -\frac{19}{4}$

Это рациональное значение параметра $a$. Проверим, удовлетворяет ли оно первому условию $5+a^2 = u^2$.

$5 + \left(-\frac{19}{4}\right)^2 = 5 + \frac{361}{16} = \frac{80+361}{16} = \frac{441}{16} = \left(\frac{21}{4}\right)^2$.

Это выражение является квадратом рационального числа $u=\frac{21}{4}$.

Таким образом, значение $a = -19/4$ удовлетворяет обоим условиям.

Проверим также, что это значение входит в область определения функции $g(x)$: $a = -4.75 \le \frac{125}{4} = 31.25$. Условие выполнено.

При $a = -19/4$ отношение периодов равно:

$\frac{T_f}{T_g} = \frac{\sqrt{441/16}}{\sqrt{144}+1} = \frac{21/4}{12+1} = \frac{21/4}{13} = \frac{21}{52}$.

Это рациональное число, следовательно, функции имеют общий период.

Другие целочисленные разложения числа 80 не приводят к решению. Хотя существуют и другие рациональные разложения, они приводят к поиску рациональных точек на эллиптической кривой, что выходит за рамки стандартной программы. В контексте данной задачи найденное решение, скорее всего, является единственным.

Ответ: $a = -19/4$.