Номер 20.9, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.9. Найдите главный период функции $f(x) = \sqrt{1 - \frac{1}{\sin^2 x}}$.

Для нахождения главного периода функции $f(x) = \sqrt{1 - \frac{1}{\sin^2 x}}$ необходимо сначала найти ее область определения.

Функция определена, когда выражение под квадратным корнем неотрицательно, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$ \begin{cases} 1 - \frac{1}{\sin^2 x} \ge 0 \\ \sin^2 x \ne 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство, приведя выражение к общему знаменателю:

$1 - \frac{1}{\sin^2 x} \ge 0 \implies \frac{\sin^2 x - 1}{\sin^2 x} \ge 0$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, заменим $\sin^2 x - 1$ на $-\cos^2 x$:

$\frac{-\cos^2 x}{\sin^2 x} \ge 0$

Поскольку $\sin^2 x > 0$ (из второго условия системы $\sin^2 x \ne 0$), знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство сводится к следующему:

$-\cos^2 x \ge 0$

Так как $\cos^2 x$ всегда является неотрицательной величиной ($\cos^2 x \ge 0$), то $-\cos^2 x$ всегда неположительно ($-\cos^2 x \le 0$). Единственный случай, когда неравенство $-\cos^2 x \ge 0$ выполняется, — это когда обе части равны нулю:

$-\cos^2 x = 0 \implies \cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0$

Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

При этих значениях $x$, $\sin^2 x = \sin^2(\frac{\pi}{2} + k\pi) = 1$, что удовлетворяет условию $\sin^2 x \ne 0$.

Таким образом, область определения функции $D(f)$ — это дискретное множество точек: $D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \}$.

Теперь найдем значение функции в точках из ее области определения. Поскольку для всех $x \in D(f)$ выполняется $\cos x = 0$, то:

$f(x) = \sqrt{\frac{-\cos^2 x}{\sin^2 x}} = \sqrt{\frac{-0^2}{1}} = \sqrt{0} = 0$

Функция $f(x)$ является константой, равной 0, на своей области определения.

Периодом $T \ne 0$ функции $f(x)$ называется такое число, что для любого $x$ из области определения $D(f)$, число $x+T$ также принадлежит $D(f)$ и $f(x+T) = f(x)$. Поскольку $f(x)=0$ на всей области определения, второе условие ($0=0$) всегда выполняется. Следовательно, период определяется только структурой области определения.

Мы ищем наименьшее положительное число $T$, такое что если $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ для некоторого $k \in \mathbb{Z}$, то $x+T$ также можно представить в виде $\frac{\pi}{2} + m\pi$ для некоторого $m \in \mathbb{Z}$.

$(\frac{\pi}{2} + k\pi) + T = \frac{\pi}{2} + m\pi$

$T = (\frac{\pi}{2} + m\pi) - (\frac{\pi}{2} + k\pi) = (m-k)\pi$

Поскольку $m$ и $k$ — целые числа, разность $m-k$ является любым целым числом. Обозначим $p = m-k$, где $p \in \mathbb{Z}$. Так как $T \ne 0$, то $p \ne 0$.

Множество всех периодов функции — это $\{p\pi \mid p \in \mathbb{Z}, p \ne 0\}$. Главный (основной) период — это наименьший положительный период. Чтобы найти его, нужно взять наименьшее положительное целое значение $p$, то есть $p=1$.

Таким образом, главный период функции равен $T = 1 \cdot \pi = \pi$.

Ответ: $\pi$