gdz.top
Номер 20.4, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Тригонометрические функции. Параграф 20. Периодические функции - номер 20.4, страница 153.
№20.3
№20.4 (с. 153)
Условие. №20.4 (с. 153)
20.4. Докажите, что числа $\frac{2\pi}{3}$ и $-4\pi$ являются периодами функции $f(x) = \cos 3x$.
Решение. №20.4 (с. 153)
Согласно определению, число $T \ne 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$. Область определения функции $f(x) = \cos(3x)$ — множество всех действительных чисел ($D(f) = \mathbb{R}$), поэтому для любого $x$ и любого $T$ число $(x+T)$ также принадлежит области определения.
Для числа $\frac{2\pi}{3}$
Проверим выполнение равенства $f(x+T)=f(x)$ для $T = \frac{2\pi}{3}$.
$f(x + \frac{2\pi}{3}) = \cos(3(x + \frac{2\pi}{3})) = \cos(3x + 3 \cdot \frac{2\pi}{3}) = \cos(3x + 2\pi)$.
Так как функция косинус имеет основной период $2\pi$, справедливо равенство $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos(\alpha)$ для любого $\alpha$. Поэтому:
$\cos(3x + 2\pi) = \cos(3x) = f(x)$.
Таким образом, равенство $f(x + \frac{2\pi}{3}) = f(x)$ выполняется для всех $x$, и число $\frac{2\pi}{3}$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что число $\frac{2\pi}{3}$ является периодом функции $f(x) = \cos(3x)$.
Для числа $-4\pi$
Проверим выполнение равенства $f(x+T)=f(x)$ для $T = -4\pi$.
$f(x - 4\pi) = \cos(3(x - 4\pi)) = \cos(3x - 12\pi)$.
Периодом функции косинус является любое число вида $2\pi k$, где $k$ — целое число, то есть $\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$. В данном случае $-12\pi = 2\pi \cdot (-6)$, то есть $k=-6$. Следовательно:
$\cos(3x - 12\pi) = \cos(3x) = f(x)$.
Таким образом, равенство $f(x - 4\pi) = f(x)$ выполняется для всех $x$, и число $-4\pi$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что число $-4\pi$ является периодом функции $f(x) = \cos(3x)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 20.4 расположенного на странице 153 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №20.4 (с. 153), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.