Номер 20.2, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.2. Найдите значение выражения:

1) $tg(-315^\circ)$;

2) $sin 1110^\circ$;

3) $cos \frac{7\pi}{3}$;

4) $sin \left(-\frac{9\pi}{4}\right)$;

5) $ctg \left(-\frac{10\pi}{3}\right)$.

1) tg(-315°)

Воспользуемся свойством нечетности тангенса, которое гласит, что $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$, и периодичностью тангенса с периодом $180°$ (а значит и $360°$).

Способ 1: Использование нечетности и формул приведения.

$tg(-315°) = -tg(315°)$

Угол $315°$ находится в IV четверти. Представим его как $360° - 45°$.

$tg(315°) = tg(360° - 45°) = -tg(45°)$

Так как $tg(45°) = 1$, то $tg(315°) = -1$.

Следовательно, $tg(-315°) = -(-1) = 1$.

Способ 2: Использование периодичности.

Прибавим к аргументу полный оборот $360°$, чтобы получить положительный угол.

$tg(-315°) = tg(-315° + 360°) = tg(45°)$

Значение $tg(45°)$ является табличным и равно 1.

$tg(-315°) = 1$

Ответ: 1

2) sin 1110°

Функция синус периодична с периодом $360°$. Это означает, что $sin(\alpha + 360° \cdot n) = sin(\alpha)$ для любого целого $n$.

Найдем, сколько полных оборотов ($360°$) содержится в $1110°$. Для этого разделим $1110$ на $360$ с остатком.

$1110 = 3 \cdot 360 + 30$

Следовательно, $1110° = 3 \cdot 360° + 30°$.

$sin(1110°) = sin(3 \cdot 360° + 30°) = sin(30°)$

Значение $sin(30°)$ является табличным.

$sin(30°) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

3) cos $\frac{7\pi}{3}$

Функция косинус периодична с периодом $2\pi$. Это означает, что $cos(\alpha + 2\pi \cdot n) = cos(\alpha)$ для любого целого $n$.

Представим дробь $\frac{7\pi}{3}$ в виде суммы целого числа оборотов ($2\pi$) и остатка.

$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$

Таким образом, мы можем использовать свойство периодичности:

$cos(\frac{7\pi}{3}) = cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3})$

Значение $cos(\frac{\pi}{3})$ является табличным.

$cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

4) sin $(-\frac{9\pi}{4})$

Воспользуемся свойством нечетности функции синус, $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$, и ее периодичностью с периодом $2\pi$.

$sin(-\frac{9\pi}{4}) = -sin(\frac{9\pi}{4})$

Теперь упростим аргумент $\frac{9\pi}{4}$, выделив целое число оборотов.

$\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$

Применяем свойство периодичности синуса:

$sin(\frac{9\pi}{4}) = sin(2\pi + \frac{\pi}{4}) = sin(\frac{\pi}{4})$

Значение $sin(\frac{\pi}{4})$ является табличным.

$sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Возвращаемся к исходному выражению:

$sin(-\frac{9\pi}{4}) = -sin(\frac{9\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

5) ctg $(-\frac{10\pi}{3})$

Воспользуемся свойством нечетности функции котангенс, $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$, и ее периодичностью с периодом $\pi$.

$ctg(-\frac{10\pi}{3}) = -ctg(\frac{10\pi}{3})$

Упростим аргумент $\frac{10\pi}{3}$, выделив целое число периодов $\pi$.

$\frac{10\pi}{3} = \frac{9\pi + \pi}{3} = \frac{9\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3}$

Применяем свойство периодичности котангенса:

$ctg(\frac{10\pi}{3}) = ctg(3\pi + \frac{\pi}{3}) = ctg(\frac{\pi}{3})$

Значение $ctg(\frac{\pi}{3})$ является табличным.

$ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Возвращаемся к исходному выражению:

$ctg(-\frac{10\pi}{3}) = -ctg(\frac{10\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$