Номер 19.13, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.13. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{\text{tg } x}{x}$;

2) $f(x) = \frac{x \sin x}{1 - \cos x}$;

3) $f(x) = \frac{(x-1)\cos x}{x-1}$.

Для того чтобы исследовать функцию на чётность, необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ должен принадлежать ей).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ — в этом случае функция является чётной.
   • $f(-x) = -f(x)$ — в этом случае функция является нечётной.

Если область определения несимметрична или ни одно из равенств не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной.

1) $f(x) = \frac{\tg x}{x}$

1. Найдём область определения функции $D(f)$.
Функция определена, если знаменатель не равен нулю ($x \neq 0$) и если определён тангенс ($\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$).
Итак, $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$.
Эта область определения симметрична относительно начала координат, так как если $x$ удовлетворяет этим условиям, то и $-x$ будет им удовлетворять.

2. Найдём значение $f(-x)$.
$f(-x) = \frac{\tg(-x)}{-x}$.
Так как тангенс — нечётная функция, $\tg(-x) = -\tg x$.
$f(-x) = \frac{-\tg x}{-x} = \frac{\tg x}{x}$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.
Мы получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2) $f(x) = \frac{x \sin x}{1 - \cos x}$

1. Найдём область определения функции $D(f)$.
Функция определена, если знаменатель не равен нулю: $1 - \cos x \neq 0$, то есть $\cos x \neq 1$.
Это выполняется при $x \neq 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Итак, $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\}$.
Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Найдём значение $f(-x)$.
$f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{1 - \cos(-x)}$.
Используем свойства чётности тригонометрических функций: синус — нечётная функция ($\sin(-x) = -\sin x$), а косинус — чётная ($\cos(-x) = \cos x$).
$f(-x) = \frac{(-x)(-\sin x)}{1 - \cos x} = \frac{x \sin x}{1 - \cos x}$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.
Мы получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

3) $f(x) = \frac{(x-1) \cos x}{x-1}$

1. Найдём область определения функции $D(f)$.
Функция определена, если знаменатель не равен нулю: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
Итак, $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Проверим область определения на симметричность.
Возьмём точку $x = -1$. Она принадлежит области определения, так как $-1 \neq 1$.
Однако симметричная ей точка $-x = -(-1) = 1$ не принадлежит области определения.
Поскольку область определения функции не является симметричной относительно начала координат, первое условие для чётности/нечётности не выполняется.

Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной. Обратите внимание, что хотя выражение можно сократить до $\cos x$ при $x \neq 1$, исходная функция $f(x)$ не определена в точке $x=1$, что и нарушает симметрию.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.