Номер 19.7, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.7. Сравните:

1) $ \text{tg } 130^\circ \text{ и tg } (-130^\circ); $

2) $ \text{tg } 110^\circ \text{ и tg } 193^\circ; $

3) $ \cos 80^\circ \text{ и } \sin 330^\circ; $

4) $ \sin 60^\circ \text{ и } \sin \frac{8\pi}{7}; $

5) $ \text{ctg } \frac{2\pi}{3} \text{ и } \cos 280^\circ; $

6) $ \text{ctg } 6 \text{ и ctg } 6^\circ. $

1) tg 130° и tg (-130°);

Воспользуемся свойством нечетности функции тангенс: $tg(-α) = -tg(α)$. Таким образом, $tg(-130°) = -tg(130°)$. Угол 130° находится во второй координатной четверти ($90° < 130° < 180°$), где тангенс имеет отрицательное значение, то есть $tg(130°) < 0$. Поскольку $tg(130°)$ — отрицательное число, то $-tg(130°)$ будет положительным числом. Следовательно, $tg(130°) < -tg(130°)$, а значит, $tg(130°) < tg(-130°)$.
Ответ: $tg(130°) < tg(-130°)$.

2) tg 110° и tg 193°;

Определим знаки значений данных функций, исходя из того, в каких координатных четвертях находятся углы. Угол 110° находится во второй четверти ($90° < 110° < 180°$), где тангенс отрицателен: $tg(110°) < 0$. Угол 193° находится в третьей четверти ($180° < 193° < 270°$), где тангенс положителен: $tg(193°) > 0$. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
Ответ: $tg(110°) < tg(193°)$.

3) cos 80° и sin 330°;

Определим знаки значений данных функций. Угол 80° находится в первой четверти ($0° < 80° < 90°$), где косинус положителен: $cos(80°) > 0$. Угол 330° находится в четвертой четверти ($270° < 330° < 360°$), где синус отрицателен: $sin(330°) < 0$. Положительное число всегда больше отрицательного.
Ответ: $cos(80°) > sin(330°)$.

4) sin 60° и sin $\frac{8\pi}{7}$;

Определим знаки значений данных функций. Угол 60° находится в первой четверти, где синус положителен: $sin(60°) > 0$. Угол $\frac{8\pi}{7} = \pi + \frac{\pi}{7}$ находится в третьей четверти ($\pi < \frac{8\pi}{7} < \frac{3\pi}{2}$), где синус отрицателен: $sin(\frac{8\pi}{7}) < 0$. Положительное число всегда больше отрицательного.
Ответ: $sin(60°) > sin(\frac{8\pi}{7})$.

5) ctg $\frac{2\pi}{3}$ и cos 280°;

Определим знаки значений данных функций. Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$), где котангенс отрицателен: $ctg(\frac{2\pi}{3}) < 0$. Угол 280° находится в четвертой четверти ($270° < 280° < 360°$), где косинус положителен: $cos(280°) > 0$. Отрицательное число всегда меньше положительного.
Ответ: $ctg(\frac{2\pi}{3}) < cos(280°)$.

6) ctg 6 и ctg 6°;

В первом случае угол задан в радианах, во втором — в градусах. Угол 6° находится в первой четверти ($0° < 6° < 90°$), где котангенс положителен: $ctg(6°) > 0$. Определим, в какой четверти находится угол в 6 радиан. Используем приближение $\pi \approx 3,14$. $\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3,14}{2} = 4,71$. $2\pi \approx 2 \cdot 3,14 = 6,28$. Поскольку $4,71 < 6 < 6,28$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$, угол 6 радиан находится в четвертой четверти. В этой четверти котангенс отрицателен: $ctg(6) < 0$. Сравнивая отрицательное число с положительным, получаем, что отрицательное меньше.
Ответ: $ctg(6) < ctg(6°)$.