Страница 145 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.2. Какой знак имеет:

1) $\sin 186^\circ$;

2) $\operatorname{tg} 104^\circ$;

3) $\operatorname{ctg} 340^\circ$;

4) $\cos (-78^\circ)$;

5) $\operatorname{ctg} (-291^\circ)$;

6) $\sin \frac{3\pi}{7}$;

7) $\operatorname{tg} \frac{9\pi}{8}$;

8) $\cos \left(-\frac{13\pi}{12}\right)?$

1) sin 186°
Для определения знака тригонометрической функции необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол. Знаки тригонометрических функций по четвертям:

• I четверть (от 0° до 90°): sin(+,+), cos(+,+), tg(+,+), ctg(+,+)
• II четверть (от 90° до 180°): sin(+,+), cos(-,-), tg(-,-), ctg(-,-)
• III четверть (от 180° до 270°): sin(-,-), cos(-,-), tg(+,+), ctg(+,+)
• IV четверть (от 270° до 360°): sin(-,-), cos(+,+), tg(-,-), ctg(-,-)

Угол $186°$ удовлетворяет неравенству $180° < 186° < 270°$. Следовательно, угол $186°$ находится в III координатной четверти. В III четверти синус имеет отрицательный знак. Таким образом, $sin 186° < 0$.
Ответ: минус.

2) tg 104°
Угол $104°$ удовлетворяет неравенству $90° < 104° < 180°$. Следовательно, угол $104°$ находится во II координатной четверти. Во II четверти тангенс имеет отрицательный знак. Таким образом, $tg 104° < 0$.
Ответ: минус.

3) ctg 340°
Угол $340°$ удовлетворяет неравенству $270° < 340° < 360°$. Следовательно, угол $340°$ находится в IV координатной четверти. В IV четверти котангенс имеет отрицательный знак. Таким образом, $ctg 340° < 0$.
Ответ: минус.

4) cos(-78°)
Функция косинус является четной, то есть $cos(-x) = cos(x)$. Следовательно, $cos(-78°) = cos(78°)$. Угол $78°$ удовлетворяет неравенству $0° < 78° < 90°$. Следовательно, угол $78°$ находится в I координатной четверти. В I четверти косинус имеет положительный знак. Таким образом, $cos(-78°) > 0$.
Ответ: плюс.

5) ctg(-291°)
Функция котангенс является нечетной, то есть $ctg(-x) = -ctg(x)$. Значит, $ctg(-291°) = -ctg(291°)$. Угол $291°$ находится в IV четверти ($270° < 291° < 360°$), где котангенс отрицателен. Минус на минус дает плюс.
Другой способ: воспользуемся периодичностью котангенса, прибавив $360°$ к аргументу: $ctg(-291°) = ctg(-291° + 360°) = ctg(69°)$. Угол $69°$ находится в I четверти ($0° < 69° < 90°$), где котангенс положителен. Таким образом, $ctg(-291°) > 0$.
Ответ: плюс.

6) sin $\frac{3\pi}{7}$
Угол задан в радианах. Определим, в какой четверти он находится, сравнив его с границами четвертей ($0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$). Сравним $\frac{3\pi}{7}$ с $\frac{\pi}{2}$. Для этого сравним дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{1}{2}$. Приводя к общему знаменателю: $\frac{6}{14}$ и $\frac{7}{14}$. Поскольку $6 < 7$, то $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$. Значит, $0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$, и угол находится в I четверти. В I четверти синус имеет положительный знак. Таким образом, $sin \frac{3\pi}{7} > 0$.
Ответ: плюс.

7) tg $\frac{9\pi}{8}$
Представим угол в виде $\frac{9\pi}{8} = \frac{8\pi + \pi}{8} = \pi + \frac{\pi}{8}$. Это означает, что угол $\frac{9\pi}{8}$ больше $\pi$. Сравним его с $\frac{3\pi}{2}$: $\frac{9\pi}{8}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{12\pi}{8}$. Поскольку $\frac{9\pi}{8} < \frac{12\pi}{8}$, выполняется неравенство $\pi < \frac{9\pi}{8} < \frac{3\pi}{2}$. Это соответствует III координатной четверти. В III четверти тангенс имеет положительный знак. Следовательно, $tg \frac{9\pi}{8} > 0$.
Ответ: плюс.

8) cos $(-\frac{13\pi}{12})$
Функция косинус является четной, поэтому $cos(-\frac{13\pi}{12}) = cos(\frac{13\pi}{12})$. Представим угол в виде $\frac{13\pi}{12} = \frac{12\pi + \pi}{12} = \pi + \frac{\pi}{12}$. Это означает, что угол $\frac{13\pi}{12}$ больше $\pi$. Сравним его с $\frac{3\pi}{2}$: $\frac{13\pi}{12}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{18\pi}{12}$. Поскольку $\frac{13\pi}{12} < \frac{18\pi}{12}$, выполняется неравенство $\pi < \frac{13\pi}{12} < \frac{3\pi}{2}$. Это соответствует III координатной четверти. В III четверти косинус имеет отрицательный знак. Следовательно, $cos(-\frac{13\pi}{12}) < 0$.
Ответ: минус.

19.3. Найдите значение выражения:

1) $5\text{tg}0 + 2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) - 3\text{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 4\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)$;

2) $\text{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right)\text{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2\cos(-\pi) + 4\sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right).$

1) $5\tg{0} + 2\sin(-\frac{\pi}{6}) - 3\ctg(-\frac{\pi}{4}) + 4\cos(-\frac{\pi}{2})$

Для нахождения значения выражения, вычислим значение каждого слагаемого, используя табличные значения тригонометрических функций и их свойства четности/нечетности:

• $\sin(-x) = -\sin(x)$ (нечетная функция)
• $\cos(-x) = \cos(x)$ (четная функция)
• $\tg(-x) = -\tg(x)$ (нечетная функция)
• $\ctg(-x) = -\ctg(x)$ (нечетная функция)

1. Значение $\tg{0}$ равно $0$.
$5\tg{0} = 5 \cdot 0 = 0$.

2. Значение $\sin(\frac{\pi}{6})$ равно $\frac{1}{2}$.
$2\sin(-\frac{\pi}{6}) = 2 \cdot (-\sin(\frac{\pi}{6})) = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$.

3. Значение $\ctg(\frac{\pi}{4})$ равно $1$.
$-3\ctg(-\frac{\pi}{4}) = -3 \cdot (-\ctg(\frac{\pi}{4})) = -3 \cdot (-1) = 3$.

4. Значение $\cos(\frac{\pi}{2})$ равно $0$.
$4\cos(-\frac{\pi}{2}) = 4 \cdot \cos(\frac{\pi}{2}) = 4 \cdot 0 = 0$.

Теперь сложим полученные значения:
$5\tg{0} + 2\sin(-\frac{\pi}{6}) - 3\ctg(-\frac{\pi}{4}) + 4\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0 + (-1) + 3 + 0 = 2$.

Ответ: 2

2) $\tg(-\frac{\pi}{3})\ctg(-\frac{\pi}{6}) + 2\cos(-\pi) + 4\sin^2(-\frac{\pi}{3})$

Вычислим значение каждого члена выражения по отдельности.

1. Вычислим произведение $\tg(-\frac{\pi}{3})\ctg(-\frac{\pi}{6})$.
$\tg(-\frac{\pi}{3}) = -\tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.
$\ctg(-\frac{\pi}{6}) = -\ctg(\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3}$.
$\tg(-\frac{\pi}{3})\ctg(-\frac{\pi}{6}) = (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}) = 3$.

2. Вычислим $2\cos(-\pi)$.
$\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$.
$2\cos(-\pi) = 2 \cdot (-1) = -2$.

3. Вычислим $4\sin^2(-\frac{\pi}{3})$.
$\sin^2(-\frac{\pi}{3})$ это то же самое, что и $(\sin(-\frac{\pi}{3}))^2$.
$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$4\sin^2(-\frac{\pi}{3}) = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 4 \cdot (\frac{3}{4}) = 3$.

Теперь сложим полученные результаты:
$3 + (-2) + 3 = 4$.

Ответ: 4

19.4. Найдите значение выражения:

1) $ \sin^2 (-60^\circ) + \cos^2 (-30^\circ); $

2) $ 2\mathrm{tg} \left(-\frac{\pi}{4}\right) \mathrm{ctg} \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 3\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) + 4\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right). $

1) Найдем значение выражения $sin^2(-60^\circ) + cos^2(-30^\circ)$.

Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций. Синус — нечетная функция, то есть $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$. Косинус — четная функция, то есть $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.

Тогда выражение можно переписать в виде:

$sin^2(-60^\circ) = (sin(-60^\circ))^2 = (-sin(60^\circ))^2 = sin^2(60^\circ)$

$cos^2(-30^\circ) = (cos(-30^\circ))^2 = (cos(30^\circ))^2 = cos^2(30^\circ)$

Теперь используем табличные значения тригонометрических функций:

$sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляем эти значения в наше выражение:

$sin^2(60^\circ) + cos^2(30^\circ) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3+3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $1.5$

2) Найдем значение выражения $2\text{tg}(-\frac{\pi}{4})\text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) + 3\sin(-\frac{\pi}{2}) + 4\cos(-\frac{\pi}{6})$.

Используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций:

• Тангенс: $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$ (нечетная)
• Котангенс: $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$ (нечетная)
• Синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ (нечетная)
• Косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ (четная)

Применим эти свойства к нашему выражению:

$2\text{tg}(-\frac{\pi}{4})\text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) = 2(-\text{tg}(\frac{\pi}{4}))(-\text{ctg}(\frac{\pi}{6})) = 2\text{tg}(\frac{\pi}{4})\text{ctg}(\frac{\pi}{6})$

$3\sin(-\frac{\pi}{2}) = -3\sin(\frac{\pi}{2})$

$4\cos(-\frac{\pi}{6}) = 4\cos(\frac{\pi}{6})$

Все выражение примет вид:

$2\text{tg}(\frac{\pi}{4})\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) - 3\sin(\frac{\pi}{2}) + 4\cos(\frac{\pi}{6})$

Теперь подставим табличные значения:

$\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$

$\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$

$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Вычисляем значение выражения:

$2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} - 3 \cdot 1 + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} - 3 + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 3$

Ответ: $4\sqrt{3} - 3$

19.5. Известно, что $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $\sin \alpha \operatorname{tg} \alpha$;

2) $\frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$;

3) $\sin \alpha - \cos \alpha$.

По условию задачи, угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что соответствует второй координатной четверти.

Определим знаки тригонометрических функций для угла во второй четверти:

• $\sin \alpha > 0$ (синус положителен, так как ордината точки на единичной окружности положительна).
• $\cos \alpha < 0$ (косинус отрицателен, так как абсцисса точки на единичной окружности отрицательна).
• $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Так как числитель положителен, а знаменатель отрицателен, то тангенс отрицателен: $\tg \alpha < 0$.

1) $\sin \alpha \tg \alpha$

Данное выражение является произведением $\sin \alpha$ и $\tg \alpha$. Мы установили, что $\sin \alpha > 0$ и $\tg \alpha < 0$. Произведение положительного числа на отрицательное есть число отрицательное. Таким образом, $\sin \alpha \cdot \tg \alpha < 0$.

Ответ: $\sin \alpha \tg \alpha < 0$.

2) $\frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя дроби. Числитель: $\sin^3 \alpha$. Поскольку $\sin \alpha > 0$, то его куб $\sin^3 \alpha$ также будет положительным. Знаменатель: $\cos \alpha < 0$. Частное от деления положительного числа на отрицательное является отрицательным числом. Следовательно, $\frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha} < 0$.

Ответ: $\frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha} < 0$.

3) $\sin \alpha - \cos \alpha$

Это выражение является разностью. Уменьшаемое $\sin \alpha$ является положительным числом ($\sin \alpha > 0$). Вычитаемое $\cos \alpha$ является отрицательным числом ($\cos \alpha < 0$). Вычитание отрицательного числа эквивалентно прибавлению соответствующего ему положительного числа. То есть, $\sin \alpha - \cos \alpha = \sin \alpha + (-\cos \alpha)$. Поскольку $\cos \alpha < 0$, то $-\cos \alpha > 0$. В результате мы имеем сумму двух положительных чисел ($\sin \alpha$ и $-\cos \alpha$), которая всегда будет положительна. Следовательно, $\sin \alpha - \cos \alpha > 0$.

Ответ: $\sin \alpha - \cos \alpha > 0$.

19.6. Известно, что $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $\sin \beta \cos \beta$;

2) $\frac{\text{tg}^3\beta}{\sin\beta}$;

3) $\sin \beta + \cos \beta$.

По условию, угол $\beta$ находится в третьей координатной четверти, поскольку выполняется неравенство $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$. В этой четверти знаки основных тригонометрических функций следующие: $\sin\beta < 0$, $\cos\beta < 0$ и $\text{tg}\beta > 0$.

1) $\sin\beta\cos\beta$

Чтобы определить знак выражения $\sin\beta\cos\beta$, необходимо перемножить знаки сомножителей. Так как в третьей четверти $\sin\beta$ является отрицательным числом и $\cos\beta$ также является отрицательным числом, их произведение будет положительным. Таким образом, $\sin\beta\cos\beta > 0$.
Ответ: $\sin\beta\cos\beta > 0$.

2) $\frac{\text{tg}^3\beta}{\sin\beta}$

Определим знаки числителя и знаменателя дроби. В третьей четверти тангенс положителен ($\text{tg}\beta > 0$), следовательно, его куб также будет положительным числом: $\text{tg}^3\beta > 0$. Знаменатель дроби, $\sin\beta$, в третьей четверти отрицателен. Частное от деления положительного числа на отрицательное всегда отрицательно. Следовательно, $\frac{\text{tg}^3\beta}{\sin\beta} < 0$.
Ответ: $\frac{\text{tg}^3\beta}{\sin\beta} < 0$.

3) $\sin\beta + \cos\beta$

В третьей четверти и синус, и косинус принимают отрицательные значения: $\sin\beta < 0$ и $\cos\beta < 0$. Сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом. Следовательно, $\sin\beta + \cos\beta < 0$.
Ответ: $\sin\beta + \cos\beta < 0$.

19.7. Сравните:

1) $ \text{tg } 130^\circ \text{ и tg } (-130^\circ); $

2) $ \text{tg } 110^\circ \text{ и tg } 193^\circ; $

3) $ \cos 80^\circ \text{ и } \sin 330^\circ; $

4) $ \sin 60^\circ \text{ и } \sin \frac{8\pi}{7}; $

5) $ \text{ctg } \frac{2\pi}{3} \text{ и } \cos 280^\circ; $

6) $ \text{ctg } 6 \text{ и ctg } 6^\circ. $

1) tg 130° и tg (-130°);

Воспользуемся свойством нечетности функции тангенс: $tg(-α) = -tg(α)$. Таким образом, $tg(-130°) = -tg(130°)$. Угол 130° находится во второй координатной четверти ($90° < 130° < 180°$), где тангенс имеет отрицательное значение, то есть $tg(130°) < 0$. Поскольку $tg(130°)$ — отрицательное число, то $-tg(130°)$ будет положительным числом. Следовательно, $tg(130°) < -tg(130°)$, а значит, $tg(130°) < tg(-130°)$.
Ответ: $tg(130°) < tg(-130°)$.

2) tg 110° и tg 193°;

Определим знаки значений данных функций, исходя из того, в каких координатных четвертях находятся углы. Угол 110° находится во второй четверти ($90° < 110° < 180°$), где тангенс отрицателен: $tg(110°) < 0$. Угол 193° находится в третьей четверти ($180° < 193° < 270°$), где тангенс положителен: $tg(193°) > 0$. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
Ответ: $tg(110°) < tg(193°)$.

3) cos 80° и sin 330°;

Определим знаки значений данных функций. Угол 80° находится в первой четверти ($0° < 80° < 90°$), где косинус положителен: $cos(80°) > 0$. Угол 330° находится в четвертой четверти ($270° < 330° < 360°$), где синус отрицателен: $sin(330°) < 0$. Положительное число всегда больше отрицательного.
Ответ: $cos(80°) > sin(330°)$.

4) sin 60° и sin $\frac{8\pi}{7}$;

Определим знаки значений данных функций. Угол 60° находится в первой четверти, где синус положителен: $sin(60°) > 0$. Угол $\frac{8\pi}{7} = \pi + \frac{\pi}{7}$ находится в третьей четверти ($\pi < \frac{8\pi}{7} < \frac{3\pi}{2}$), где синус отрицателен: $sin(\frac{8\pi}{7}) < 0$. Положительное число всегда больше отрицательного.
Ответ: $sin(60°) > sin(\frac{8\pi}{7})$.

5) ctg $\frac{2\pi}{3}$ и cos 280°;

Определим знаки значений данных функций. Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$), где котангенс отрицателен: $ctg(\frac{2\pi}{3}) < 0$. Угол 280° находится в четвертой четверти ($270° < 280° < 360°$), где косинус положителен: $cos(280°) > 0$. Отрицательное число всегда меньше положительного.
Ответ: $ctg(\frac{2\pi}{3}) < cos(280°)$.

6) ctg 6 и ctg 6°;

В первом случае угол задан в радианах, во втором — в градусах. Угол 6° находится в первой четверти ($0° < 6° < 90°$), где котангенс положителен: $ctg(6°) > 0$. Определим, в какой четверти находится угол в 6 радиан. Используем приближение $\pi \approx 3,14$. $\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3,14}{2} = 4,71$. $2\pi \approx 2 \cdot 3,14 = 6,28$. Поскольку $4,71 < 6 < 6,28$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$, угол 6 радиан находится в четвертой четверти. В этой четверти котангенс отрицателен: $ctg(6) < 0$. Сравнивая отрицательное число с положительным, получаем, что отрицательное меньше.
Ответ: $ctg(6) < ctg(6°)$.

19.8. Сравните:

1) $ \sin 200^{\circ} $ и $ \sin (-250^{\circ}) $;

2) $ \cot 100^{\circ} $ и $ \cot 80^{\circ} $;

3) $ \cos 250^{\circ} $ и $ \cos 290^{\circ} $;

4) $ \cos 6,2 $ и $ \sin 5 $.

1) Для сравнения $\sin 200^{\circ}$ и $\sin(-250^{\circ})$, определим знаки этих выражений. Угол $200^{\circ}$ находится в третьей координатной четверти ($180^{\circ} < 200^{\circ} < 270^{\circ}$), где синус отрицателен. Следовательно, $\sin 200^{\circ} < 0$.
Преобразуем второе выражение, используя периодичность синуса (период $360^{\circ}$): $\sin(-250^{\circ}) = \sin(-250^{\circ} + 360^{\circ}) = \sin(110^{\circ})$. Угол $110^{\circ}$ находится во второй координатной четверти ($90^{\circ} < 110^{\circ} < 180^{\circ}$), где синус положителен. Следовательно, $\sin(-250^{\circ}) > 0$.
Так как любое отрицательное число меньше любого положительного, получаем, что $\sin 200^{\circ} < \sin(-250^{\circ})$.
Ответ: $\sin 200^{\circ} < \sin(-250^{\circ})$.

2) Для сравнения $\mathrm{ctg}\,100^{\circ}$ и $\mathrm{ctg}\,80^{\circ}$, определим знаки этих выражений. Угол $100^{\circ}$ находится во второй координатной четверти ($90^{\circ} < 100^{\circ} < 180^{\circ}$), где котангенс отрицателен. Следовательно, $\mathrm{ctg}\,100^{\circ} < 0$.
Угол $80^{\circ}$ находится в первой координатной четверти ($0^{\circ} < 80^{\circ} < 90^{\circ}$), где котангенс положителен. Следовательно, $\mathrm{ctg}\,80^{\circ} > 0$.
Так как отрицательное число меньше положительного, то $\mathrm{ctg}\,100^{\circ} < \mathrm{ctg}\,80^{\circ}$.
Ответ: $\mathrm{ctg}\,100^{\circ} < \mathrm{ctg}\,80^{\circ}$.

3) Для сравнения $\cos 250^{\circ}$ и $\cos 290^{\circ}$, определим знаки этих выражений. Угол $250^{\circ}$ находится в третьей координатной четверти ($180^{\circ} < 250^{\circ} < 270^{\circ}$), где косинус отрицателен. Следовательно, $\cos 250^{\circ} < 0$.
Угол $290^{\circ}$ находится в четвертой координатной четверти ($270^{\circ} < 290^{\circ} < 360^{\circ}$), где косинус положителен. Следовательно, $\cos 290^{\circ} > 0$.
Так как отрицательное число меньше положительного, то $\cos 250^{\circ} < \cos 290^{\circ}$.
Ответ: $\cos 250^{\circ} < \cos 290^{\circ}$.

4) Для сравнения $\cos 6,2$ и $\sin 5$, определим, в каких координатных четвертях находятся углы 6,2 радиан и 5 радиан. Используем приближенные значения: $\pi \approx 3,14$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, $2\pi \approx 6,28$.
Для угла 6,2 радиан: $4,71 < 6,2 < 6,28$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 6,2 < 2\pi$. Угол находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Следовательно, $\cos 6,2 > 0$.
Для угла 5 радиан: $4,71 < 5 < 6,28$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$. Угол также находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. Следовательно, $\sin 5 < 0$.
Так как положительное число больше отрицательного, то $\cos 6,2 > \sin 5$.
Ответ: $\cos 6,2 > \sin 5$.

19.9. Известно, что $\alpha$ — угол III четверти. Упростите выражение:

1) $\sin \alpha - |\sin \alpha|$;

2) $|\cos \alpha| - \cos \alpha$;

3) $|\operatorname{tg} \alpha| - \operatorname{tg} \alpha$.

Для решения задачи необходимо определить знаки тригонометрических функций для угла $\alpha$, находящегося в III четверти ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$ или $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$).
В III четверти:
- Синус отрицателен: $sin\,\alpha < 0$.
- Косинус отрицателен: $cos\,\alpha < 0$.
- Тангенс положителен: $tg\,\alpha > 0$.

Мы будем использовать определение модуля (абсолютной величины):
$|a| = a$, если $a \geq 0$.
$|a| = -a$, если $a < 0$.

1) $sin\,\alpha - |sin\,\alpha|$
Так как угол $\alpha$ находится в III четверти, $sin\,\alpha < 0$.
Согласно определению модуля, для отрицательного значения $|sin\,\alpha| = -sin\,\alpha$.
Подставим это в исходное выражение:
$sin\,\alpha - (-sin\,\alpha) = sin\,\alpha + sin\,\alpha = 2sin\,\alpha$.
Ответ: $2sin\,\alpha$.

2) $|cos\,\alpha| - cos\,\alpha$
Так как угол $\alpha$ находится в III четверти, $cos\,\alpha < 0$.
Согласно определению модуля, $|cos\,\alpha| = -cos\,\alpha$.
Подставим это в исходное выражение:
$(-cos\,\alpha) - cos\,\alpha = -2cos\,\alpha$.
Ответ: $-2cos\,\alpha$.

3) $|tg\,\alpha| - tg\,\alpha$
Так как угол $\alpha$ находится в III четверти, $tg\,\alpha > 0$.
Согласно определению модуля, для положительного значения $|tg\,\alpha| = tg\,\alpha$.
Подставим это в исходное выражение:
$tg\,\alpha - tg\,\alpha = 0$.
Ответ: $0$.

19.10. Известно, что $\beta$ — угол IV четверти. Упростите выражение:

1) $|\sin \beta| + \sin \beta;$

2) $\cos \beta - |\cos \beta|;$

3) $|\operatorname{ctg} \beta| - \operatorname{ctg} \beta.$

По условию задачи, угол $ \beta $ является углом IV четверти. Для углов в этой четверти справедливы следующие соотношения для знаков тригонометрических функций:

• Синус отрицателен: $ \sin \beta < 0 $
• Косинус положителен: $ \cos \beta > 0 $
• Котангенс отрицателен (так как $ \text{ctg } \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} $): $ \text{ctg } \beta < 0 $

Для упрощения выражений воспользуемся определением модуля числа: $ |x| = x $, если $ x \ge 0 $, и $ |x| = -x $, если $ x < 0 $.

1) $ |\sin \beta| + \sin \beta $

Поскольку угол $ \beta $ находится в IV четверти, $ \sin \beta < 0 $. Следовательно, по определению модуля, $ |\sin \beta| = -\sin \beta $.

Подставим это в исходное выражение:

$ |\sin \beta| + \sin \beta = (-\sin \beta) + \sin \beta = 0 $.

Ответ: $ 0 $.

2) $ \cos \beta - |\cos \beta| $

Поскольку угол $ \beta $ находится в IV четверти, $ \cos \beta > 0 $. Следовательно, по определению модуля, $ |\cos \beta| = \cos \beta $.

Подставим это в исходное выражение:

$ \cos \beta - |\cos \beta| = \cos \beta - \cos \beta = 0 $.

Ответ: $ 0 $.

3) $ |\text{ctg } \beta| - \text{ctg } \beta $

Поскольку угол $ \beta $ находится в IV четверти, $ \text{ctg } \beta < 0 $. Следовательно, по определению модуля, $ |\text{ctg } \beta| = -\text{ctg } \beta $.

Подставим это в исходное выражение:

$ |\text{ctg } \beta| - \text{ctg } \beta = (-\text{ctg } \beta) - \text{ctg } \beta = -2\text{ctg } \beta $.

Ответ: $ -2\text{ctg } \beta $.

19.11. Углом какой четверти является угол $\alpha$, если:

1) $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$;

2) $\sin \alpha < 0$ и $\operatorname{tg} \alpha > 0$;

3) $|\sin \alpha| = \sin \alpha$ и $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$;

4) $\operatorname{ctg} \alpha + |\operatorname{ctg} \alpha| = 0$ и $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$?

Для определения четверти, которой принадлежит угол $\alpha$, мы будем использовать знаки тригонометрических функций в каждой из четырех координатных четвертей:

• I четверть: $sin \alpha > 0$, $cos \alpha > 0$, $tg \alpha > 0$, $ctg \alpha > 0$
• II четверть: $sin \alpha > 0$, $cos \alpha < 0$, $tg \alpha < 0$, $ctg \alpha < 0$
• III четверть: $sin \alpha < 0$, $cos \alpha < 0$, $tg \alpha > 0$, $ctg \alpha > 0$
• IV четверть: $sin \alpha < 0$, $cos \alpha > 0$, $tg \alpha < 0$, $ctg \alpha < 0$

1) sin α > 0 и cos α < 0;

Условие $sin \alpha > 0$ означает, что угол $\alpha$ находится в I или II четверти. Условие $cos \alpha < 0$ означает, что угол $\alpha$ находится во II или III четверти. Чтобы оба условия выполнялись одновременно, угол $\alpha$ должен находиться в той четверти, которая является общей для обоих условий. Такой четвертью является вторая.
Ответ: II четверть.

2) sin α < 0 и tg α > 0;

Условие $sin \alpha < 0$ выполняется для углов в III и IV четвертях. Условие $tg \alpha > 0$ выполняется для углов в I и III четвертях (так как тангенс положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки). Общей для этих двух условий является третья четверть.
Ответ: III четверть.

3) |sin α| = sin α и α ≠ πk/2, k ∈ Z;

Равенство $|sin \alpha| = sin \alpha$ выполняется тогда и только тогда, когда $sin \alpha \geq 0$. Синус неотрицателен в I и II четвертях, а также на их границах (при углах $0, \pi, 2\pi,$ и т.д.). Условие $\alpha \ne \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$, исключает углы, лежащие на координатных осях ($0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, \ldots$). Следовательно, из множества углов, где $sin \alpha \geq 0$, мы убираем граничные значения. Таким образом, угол $\alpha$ должен находиться строго внутри I или II четверти.
Ответ: I или II четверть.

4) ctg α + |ctg α| = 0 и α ≠ π/2 + πk, k ∈ Z?

Равенство $ctg \alpha + |ctg \alpha| = 0$ можно переписать в виде $|ctg \alpha| = -ctg \alpha$. Это равенство верно только в том случае, если $ctg \alpha \leq 0$. Котангенс отрицателен во II и IV четвертях. Котангенс равен нулю при $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Второе условие, $\alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, как раз исключает случаи, когда $ctg \alpha = 0$. Следовательно, нам остаются только те углы, для которых $ctg \alpha < 0$, а это углы, расположенные во II и IV четвертях.
Ответ: II или IV четверть.