Страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.6. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $-5\cos \alpha;$

2) $\cos \alpha - 2;$

3) $5 + \sin^2 \alpha;$

4) $7 - 3\sin \alpha.$

1) -5cos α;

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения воспользуемся свойством ограниченности функции косинус. Значения косинуса любого угла находятся в промежутке от -1 до 1 включительно:

$-1 \le \cos\alpha \le 1$

Умножим все части этого двойного неравенства на -5. Важно помнить, что при умножении неравенства на отрицательное число его знаки меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-5) \ge -5\cos\alpha \ge 1 \cdot (-5)$

$5 \ge -5\cos\alpha \ge -5$

Запишем это неравенство в более привычном виде, от меньшего значения к большему:

$-5 \le -5\cos\alpha \le 5$

Таким образом, наименьшее значение выражения равно -5 (достигается при $\cos\alpha=1$), а наибольшее значение равно 5 (достигается при $\cos\alpha=-1$).

Ответ: наименьшее значение -5, наибольшее значение 5.

2) cos α - 2;

Исходное неравенство для функции косинус:

$-1 \le \cos\alpha \le 1$

Чтобы найти область значений выражения $\cos\alpha - 2$, вычтем число 2 из каждой части неравенства:

$-1 - 2 \le \cos\alpha - 2 \le 1 - 2$

$-3 \le \cos\alpha - 2 \le -1$

Следовательно, наименьшее значение выражения равно -3 (при $\cos\alpha=-1$), а наибольшее значение равно -1 (при $\cos\alpha=1$).

Ответ: наименьшее значение -3, наибольшее значение -1.

3) 5 + sin² α;

Значения функции синус находятся в промежутке от -1 до 1:

$-1 \le \sin\alpha \le 1$

При возведении в квадрат любого числа из этого промежутка, результат будет находиться в промежутке от 0 до 1, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, а $(-1)^2 = 1^2 = 1$.

$0 \le \sin^2\alpha \le 1$

Теперь прибавим 5 ко всем частям этого неравенства, чтобы найти область значений для выражения $5 + \sin^2\alpha$:

$5 + 0 \le 5 + \sin^2\alpha \le 5 + 1$

$5 \le 5 + \sin^2\alpha \le 6$

Наименьшее значение выражения равно 5 (при $\sin\alpha=0$), а наибольшее значение равно 6 (при $\sin\alpha = \pm1$).

Ответ: наименьшее значение 5, наибольшее значение 6.

4) 7 - 3sin α.

Область значений функции синус:

$-1 \le \sin\alpha \le 1$

Умножим все части неравенства на -3, меняя знаки неравенства на противоположные:

$(-1) \cdot (-3) \ge -3\sin\alpha \ge 1 \cdot (-3)$

$3 \ge -3\sin\alpha \ge -3$

Перепишем в стандартном виде:

$-3 \le -3\sin\alpha \le 3$

Теперь прибавим 7 ко всем частям неравенства:

$7 - 3 \le 7 - 3\sin\alpha \le 7 + 3$

$4 \le 7 - 3\sin\alpha \le 10$

Таким образом, наименьшее значение выражения равно 4 (при $\sin\alpha=1$), а наибольшее значение равно 10 (при $\sin\alpha=-1$).

Ответ: наименьшее значение 4, наибольшее значение 10.

18.7. Найдите все значения $x$, при которых выполняется равенство:

1) $\sin x = 1$;

2) $\sin x = -1$.

1) sin x = 1;

Данное уравнение является частным случаем простейшего тригонометрического уравнения. Для его решения воспользуемся единичной окружностью. Синус угла $x$ соответствует ординате (координате $y$) точки на единичной окружности.

Нам нужно найти такие углы $x$, для которых ордината соответствующей точки на единичной окружности равна 1. Такая точка на окружности всего одна — это самая верхняя точка с координатами (0, 1). Эта точка соответствует углу $\frac{\pi}{2}$.

Поскольку функция синуса является периодической с периодом $2\pi$, то все решения будут повторяться через каждый полный оборот. Таким образом, к найденному значению нужно прибавить $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Общая формула для всех значений $x$ будет выглядеть так: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) sin x = -1.

Это также частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Рассуждаем аналогично, используя единичную окружность. Нам нужно найти углы $x$, для которых ордината (координата $y$) соответствующей точки на единичной окружности равна -1.

Такая точка на окружности также одна — это самая нижняя точка с координатами (0, -1). Эта точка соответствует углу $\frac{3\pi}{2}$ или, что эквивалентно и более удобно для записи, углу $-\frac{\pi}{2}$.

Учитывая периодичность функции синуса, которая равна $2\pi$, все решения можно найти, прибавляя к частному решению $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, общая формула для всех значений $x$ имеет вид: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

18.8. Найдите все значения $x$, при которых выполняется равенство:

1) $\cos x = 1$;

2) $\cos x = -1$.

1) $cos(x) = 1$

Данное уравнение является частным случаем решения простейших тригонометрических уравнений. Чтобы найти значения $x$, нужно определить, при каких углах косинус равен 1. На единичной окружности косинус угла соответствует абсциссе (координате x) точки. Абсцисса равна 1 в точке (1, 0). Этой точке соответствуют углы $0, 2\pi, -2\pi, 4\pi$ и так далее. То есть, все углы, которые можно получить, совершив целое число полных оборотов от начальной точки (угол 0). Период функции косинуса равен $2\pi$. Следовательно, все решения уравнения можно записать в виде одной серии:

$x = 2\pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $cos(x) = -1$

Аналогично предыдущему пункту, решим уравнение $cos(x) = -1$. На единичной окружности абсцисса равна -1 в точке (-1, 0). Этой точке соответствует угол $\pi$. Поскольку функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, все остальные решения получаются добавлением к $\pi$ целого числа полных оборотов ($2\pi k$). Таким образом, общая формула для всех значений $x$, при которых $cos(x) = -1$, имеет вид:

$x = \pi + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

18.9. При каких значениях $a$ возможно равенство:

1) $\sin x = a^2 + 1;$

2) $\cos x = a^2 - 1;$

3) $\cos x = a^2 - 5a + 5?$

Основное свойство тригонометрических функций синуса и косинуса заключается в том, что их область значений — это отрезок $[-1, 1]$. То есть для любого действительного числа $x$ выполняются неравенства $-1 \le \sin x \le 1$ и $-1 \le \cos x \le 1$. Чтобы данное в задаче равенство было возможно, его правая часть, зависящая от параметра $a$, должна принимать значения из этого отрезка.

1) $\sin x = a^2 + 1$

Равенство возможно, если выполняется условие:

$-1 \le a^2 + 1 \le 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} a^2 + 1 \ge -1 \\ a^2 + 1 \le 1 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $a^2 \ge -2$. Так как квадрат любого действительного числа $a$ всегда неотрицателен ($a^2 \ge 0$), это неравенство выполняется для всех $a \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим второе неравенство: $a^2 \le 1 - 1$, что приводит к $a^2 \le 0$. Поскольку $a^2$ не может быть отрицательным, единственным решением является $a^2 = 0$, откуда следует, что $a = 0$.

Таким образом, система имеет единственное решение $a=0$.

Ответ: $a=0$.

2) $\cos x = a^2 - 1$

Равенство возможно, если выполняется условие:

$-1 \le a^2 - 1 \le 1$

Прибавим $1$ ко всем частям двойного неравенства:

$0 \le a^2 \le 2$

Это двойное неравенство состоит из двух условий: $a^2 \ge 0$, которое верно для любого действительного $a$, и $a^2 \le 2$.

Решим неравенство $a^2 \le 2$. Оно равносильно $a^2 - (\sqrt{2})^2 \le 0$, или $(a - \sqrt{2})(a + \sqrt{2}) \le 0$. Решением этого неравенства является промежуток $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Следовательно, равенство возможно при $a$, принадлежащем этому промежутку.

Ответ: $a \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

3) $\cos x = a^2 - 5a + 5$

Равенство возможно, если выполняется условие:

$-1 \le a^2 - 5a + 5 \le 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} a^2 - 5a + 5 \ge -1 \\ a^2 - 5a + 5 \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$a^2 - 5a + 6 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 5a + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $a_1=2$ и $a_2=3$. Графиком функции является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $a$ находится вне отрезка между корнями, то есть $a \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$a^2 - 5a + 4 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 5a + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $a_1=1$ и $a_2=4$. Графиком функции является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $a$ находится на отрезке между корнями, то есть $a \in [1, 4]$.

Теперь необходимо найти пересечение решений обоих неравенств: $a \in \left((-\infty, 2] \cup [3, \infty)\right) \cap [1, 4]$.

Пересечение дает нам объединение двух отрезков: $[1, 2]$ и $[3, 4]$.

Ответ: $a \in [1, 2] \cup [3, 4]$.

18.10. При каких значениях $a$ возможно равенство:

1) $\sin x = a - 2$;

2) $\cos x = a^2 + 2$;

3) $\sin x = 2a - a^2 - 2?$

Для того чтобы данное равенство было возможным, необходимо, чтобы значение выражения в правой части принадлежало области значений функции синус или косинус, то есть отрезку $[-1; 1]$.

1) $\sin x = a - 2$

Данное равенство возможно, если выполняется двойное неравенство:
$-1 \le a - 2 \le 1$
Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$-1 + 2 \le a \le 1 + 2$
$1 \le a \le 3$
Таким образом, равенство возможно при $a$, принадлежащем отрезку $[1; 3]$.
Ответ: $a \in [1; 3]$.

2) $\cos x = a^2 + 2$

Данное равенство возможно, если выполняется двойное неравенство:
$-1 \le a^2 + 2 \le 1$
Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого действительного числа $a$, то наименьшее значение выражения $a^2 + 2$ равно $0 + 2 = 2$.
Так как $a^2 + 2 \ge 2$, это выражение не может быть меньше или равно 1. Следовательно, неравенство $a^2 + 2 \le 1$ не имеет решений.
Значит, не существует таких значений $a$, при которых данное равенство возможно.
Ответ: решений нет.

3) $\sin x = 2a - a^2 - 2$

Данное равенство возможно, если выполняется двойное неравенство:
$-1 \le 2a - a^2 - 2 \le 1$
Преобразуем правую часть, выделив полный квадрат:
$2a - a^2 - 2 = -(a^2 - 2a + 2) = -(a^2 - 2a + 1 + 1) = -((a-1)^2 + 1) = -(a-1)^2 - 1$.
Так как $(a-1)^2 \ge 0$, то $-(a-1)^2 \le 0$.
Тогда $-(a-1)^2 - 1 \le -1$.
Это означает, что выражение $2a - a^2 - 2$ принимает значения, не превышающие $-1$.
Чтобы исходное неравенство $-1 \le 2a - a^2 - 2 \le 1$ выполнялось, выражение $2a - a^2 - 2$ должно быть равно $-1$.
$2a - a^2 - 2 = -1$
$-(a-1)^2 - 1 = -1$
$-(a-1)^2 = 0$
$a-1=0$
$a=1$
При $a=1$ равенство принимает вид $\sin x = -1$, что возможно.
Ответ: $a=1$.

18.11. Сравните значения выражений $2\sin \alpha$ и $\sin^2\alpha$, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

18.11. Чтобы сравнить значения выражений $2\sin\alpha$ и $\sin^2\alpha$, рассмотрим их разность и определим её знак.

Разность равна $2\sin\alpha - \sin^2\alpha$.

Вынесем общий множитель $\sin\alpha$ за скобки:

$2\sin\alpha - \sin^2\alpha = \sin\alpha(2 - \sin\alpha)$.

По условию задачи, угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в первой координатной четверти.

Для любого угла из этого интервала его синус является положительным числом, меньшим единицы:

$0 < \sin\alpha < 1$.

Теперь определим знак произведения $\sin\alpha(2 - \sin\alpha)$, оценив знак каждого из множителей:

1. Первый множитель, $\sin\alpha$, положителен, так как $0 < \sin\alpha < 1$.

2. Второй множитель, $(2 - \sin\alpha)$. Так как $0 < \sin\alpha < 1$, то $2 - 1 < 2 - \sin\alpha < 2 - 0$, что равносильно $1 < 2 - \sin\alpha < 2$. Следовательно, второй множитель $(2 - \sin\alpha)$ также положителен.

Поскольку оба множителя положительны, их произведение также будет положительным:

$\sin\alpha(2 - \sin\alpha) > 0$.

Это означает, что разность $2\sin\alpha - \sin^2\alpha$ положительна. Из этого следует, что уменьшаемое больше вычитаемого:

$2\sin\alpha > \sin^2\alpha$.

Ответ: $2\sin\alpha > \sin^2\alpha$.

18.12. Сравните:

1) $ \cos 10^\circ $ и $ \cos 10^\circ \cos 20^\circ $;

2) $ \sin 40^\circ $ и $ \sin^2 40^\circ $.

1) Сравним два выражения: $ \cos 10^\circ $ и $ \cos 10^\circ \cos 20^\circ $.

Угол $10^\circ$ находится в первой координатной четверти ($0^\circ < 10^\circ < 90^\circ$), поэтому значение $ \cos 10^\circ $ является положительным числом.

Поскольку $ \cos 10^\circ > 0 $, мы можем разделить оба сравниваемых выражения на $ \cos 10^\circ $, при этом знак сравнения не изменится. Таким образом, задача сводится к сравнению $1$ и $ \cos 20^\circ $.

Угол $20^\circ$ также находится в первой четверти. Для любого угла $ \alpha $, не равного $ 360^\circ \cdot k $ (где $k$ — целое число), выполняется строгое неравенство $ \cos \alpha < 1 $.

Следовательно, $ \cos 20^\circ < 1 $.

Так как $ 1 > \cos 20^\circ $, то и для исходных выражений сохраняется тот же знак неравенства: $ \cos 10^\circ > \cos 10^\circ \cos 20^\circ $.

Ответ: $ \cos 10^\circ > \cos 10^\circ \cos 20^\circ $

2) Сравним $ \sin 40^\circ $ и $ \sin^2 40^\circ $.

Выражение $ \sin^2 40^\circ $ является сокращенной записью для $ (\sin 40^\circ)^2 $.

Угол $40^\circ$ находится в первой координатной четверти ($0^\circ < 40^\circ < 90^\circ$), поэтому его синус — это положительное число, меньшее единицы. То есть, $ 0 < \sin 40^\circ < 1 $.

Пусть $x = \sin 40^\circ$. Тогда нам необходимо сравнить $x$ и $x^2$ при условии, что $ 0 < x < 1 $.

Для любого положительного числа $x$, которое меньше единицы, его квадрат $x^2$ будет меньше самого числа $x$. Это можно показать, рассмотрев разность $x - x^2 = x(1-x)$. Так как $x > 0$ и $1-x > 0$, их произведение также будет больше нуля: $x(1-x) > 0$. Отсюда следует, что $x > x^2$.

Применяя это к нашему случаю, получаем: $ \sin 40^\circ > (\sin 40^\circ)^2 $.

Следовательно, $ \sin 40^\circ > \sin^2 40^\circ $.

Ответ: $ \sin 40^\circ > \sin^2 40^\circ $

18.13. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $ \frac{1}{1 + \sin \alpha} $;

2) $ \frac{\cos^3 \alpha}{\cos \alpha} $;

3) $ \frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}{\sin \alpha} $.

1) $ \frac{1}{1 + \sin\alpha} $

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому: $ 1 + \sin\alpha \neq 0 $ $ \sin\alpha \neq -1 $

Мы знаем, что значения синуса находятся в пределах от -1 до 1, то есть $ -1 \le \sin\alpha \le 1 $. С учетом ОДЗ, для нашего выражения значение $ \sin\alpha $ находится в полуинтервале $ (-1; 1] $.

Теперь рассмотрим знаменатель $ 1 + \sin\alpha $. Если $ -1 < \sin\alpha \le 1 $, то, прибавив 1 ко всем частям неравенства, получим: $ 0 < 1 + \sin\alpha \le 2 $.

Таким образом, знаменатель $ z = 1 + \sin\alpha $ принимает значения из полуинтервала $ (0; 2] $. Нам нужно найти диапазон значений для $ \frac{1}{z} $.

Наименьшее значение выражение $ \frac{1}{z} $ примет, когда знаменатель $ z $ будет наибольшим. Максимальное значение знаменателя равно 2 (при $ \sin\alpha = 1 $). Наименьшее значение выражения: $ \frac{1}{2} $.

Наибольшего значения у выражения не существует. По мере того как $ \sin\alpha $ приближается к -1, знаменатель $ 1 + \sin\alpha $ стремится к нулю, оставаясь положительным. В этом случае значение дроби $ \frac{1}{1 + \sin\alpha} $ неограниченно возрастает (стремится к $ +\infty $).

Ответ: Наименьшее значение равно $ \frac{1}{2} $, наибольшего значения не существует.

2) $ \frac{\cos^3\alpha}{\cos\alpha} $

Область допустимых значений выражения определяется условием неравенства знаменателя нулю: $ \cos\alpha \neq 0 $.

При этом условии мы можем упростить выражение: $ \frac{\cos^3\alpha}{\cos\alpha} = \cos^2\alpha $.

Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения $ \cos^2\alpha $ при условии $ \cos\alpha \neq 0 $. Известно, что $ -1 \le \cos\alpha \le 1 $. Условие $ \cos\alpha \neq 0 $ исключает только одно значение. Следовательно, $ \cos\alpha $ может принимать любые значения из множества $ [-1; 0) \cup (0; 1] $.

Возводя в квадрат, получаем значения для $ \cos^2\alpha $. Если $ \cos\alpha \in (0; 1] $, то $ \cos^2\alpha \in (0; 1] $. Если $ \cos\alpha \in [-1; 0) $, то $ \cos^2\alpha \in (0; 1] $. Объединяя эти множества, получаем, что $ \cos^2\alpha $ принимает значения из полуинтервала $ (0; 1] $.

Наибольшее значение выражения равно 1. Оно достигается, когда $ \cos\alpha = 1 $ или $ \cos\alpha = -1 $.

Наименьшего значения не существует, так как $ \cos^2\alpha $ может быть сколь угодно близко к нулю, но не может быть равно нулю из-за ограничения $ \cos\alpha \neq 0 $.

Ответ: Наибольшее значение равно 1, наименьшего значения не существует.

3) $ \frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\sin\alpha} $

Область допустимых значений выражения определяется условием неравенства знаменателя нулю: $ \sin\alpha \neq 0 $.

При этом условии мы можем упростить выражение: $ \frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\sin\alpha} = 1 + \cos\alpha $.

Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения $ 1 + \cos\alpha $ при условии $ \sin\alpha \neq 0 $. Условие $ \sin\alpha \neq 0 $ означает, что угол $ \alpha $ не может быть равен $ \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В этих точках косинус принимает свои экстремальные значения: $ \cos(0) = 1 $, $ \cos(\pi) = -1 $, $ \cos(2\pi) = 1 $ и т.д. Следовательно, из-за ограничения $ \sin\alpha \neq 0 $, мы имеем $ \cos\alpha \neq 1 $ и $ \cos\alpha \neq -1 $.

Таким образом, значения $ \cos\alpha $ находятся в интервале $ (-1; 1) $. Теперь найдем диапазон значений для $ 1 + \cos\alpha $. Если $ -1 < \cos\alpha < 1 $, то, прибавив 1 ко всем частям неравенства, получим: $ 0 < 1 + \cos\alpha < 2 $.

Множество значений нашего выражения — это интервал $ (0; 2) $. Так как концы интервала не включаются, выражение не достигает ни своего точного верхнего предела (2), ни своего точного нижнего предела (0).

Ответ: Наибольшего и наименьшего значений не существует.

18.14. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $\frac{1}{\cos \alpha - 2}$;

2) $\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha}$;

3) $\sin \alpha + \cos \alpha - \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha}$.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $ \frac{1}{\cos\alpha - 2} $ проанализируем его знаменатель.

Область значений функции косинус — это отрезок $ [-1, 1] $, то есть $ -1 \le \cos\alpha \le 1 $.

Найдем диапазон значений знаменателя $ \cos\alpha - 2 $:

• Наименьшее значение знаменателя достигается при $ \cos\alpha = -1 $ и равно $ -1 - 2 = -3 $.
• Наибольшее значение знаменателя достигается при $ \cos\alpha = 1 $ и равно $ 1 - 2 = -1 $.

Таким образом, знаменатель принимает значения в промежутке $ [-3, -1] $.

Так как знаменатель всегда отрицателен, всё выражение также будет всегда отрицательным. Функция $ y = \frac{1}{x} $ является убывающей на интервале $ (-\infty, 0) $. Это означает, что наименьшему значению знаменателя соответствует наибольшее значение дроби, а наибольшему значению знаменателя — наименьшее значение дроби.

• Наибольшее значение выражения: $ \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} $.
• Наименьшее значение выражения: $ \frac{1}{-1} = -1 $.

Ответ: Наибольшее значение: $ -\frac{1}{3} $; наименьшее значение: $ -1 $.

2) Рассмотрим выражение $ \frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\sin\alpha} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) этого выражения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $ \sin\alpha \neq 0 $. Это означает, что $ \alpha \neq \pi k $, где $ k $ — любое целое число.

На ОДЗ мы можем сократить дробь: $ \frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha $.

Теперь нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения $ \cos\alpha $ при условии $ \alpha \neq \pi k $.

Известно, что $ -1 \le \cos\alpha \le 1 $. Однако:

• Значение $ \cos\alpha = 1 $ достигается при $ \alpha = 2\pi k $, что не входит в ОДЗ, так как при этих значениях $ \sin\alpha = 0 $.
• Значение $ \cos\alpha = -1 $ достигается при $ \alpha = \pi + 2\pi k $, что также не входит в ОДЗ, так как $ \sin\alpha = 0 $.

Следовательно, выражение может принимать любые значения в интервале $ (-1, 1) $, но не может достигать своих крайних значений. Таким образом, наибольшего и наименьшего значений у данного выражения не существует.

Ответ: Наибольшего и наименьшего значений не существует.

3) Рассмотрим выражение $ \sin\alpha + \cos\alpha - \frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\cos\alpha} $.

ОДЗ этого выражения определяется условием $ \cos\alpha \neq 0 $. Это означает, что $ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число.

На ОДЗ мы можем упростить выражение:

$ \sin\alpha + \cos\alpha - \frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\cos\alpha} = \sin\alpha + \cos\alpha - \sin\alpha = \cos\alpha $.

Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения $ \cos\alpha $ при условии $ \cos\alpha \neq 0 $.

Область значений функции косинус — это отрезок $ [-1, 1] $.

• Наибольшее значение $ \cos\alpha = 1 $ достигается при $ \alpha = 2\pi k $. Это не противоречит ОДЗ ($ \cos(2\pi k) = 1 \neq 0 $).
• Наименьшее значение $ \cos\alpha = -1 $ достигается при $ \alpha = \pi + 2\pi k $. Это также не противоречит ОДЗ ($ \cos(\pi + 2\pi k) = -1 \neq 0 $).

Таким образом, выражение может достигать своих максимальных и минимальных значений.

Ответ: Наибольшее значение: $ 1 $; наименьшее значение: $ -1 $.

18.15. Найдите область значений выражения:

1) $ \frac{1}{2 + \sin x} $;

2) $ \frac{1}{1 - \cos x} $;

3) $ \frac{2}{4 \sin x - 3} $.

1) Чтобы найти область значений выражения $ \frac{1}{2 + \sin x} $, сначала найдем область значений знаменателя $ 2 + \sin x $.

Область значений функции $ \sin x $ - это отрезок $ [-1; 1] $. То есть, выполняется двойное неравенство:

$ -1 \le \sin x \le 1 $

Прибавим ко всем частям неравенства число 2:

$ 2 - 1 \le 2 + \sin x \le 2 + 1 $

$ 1 \le 2 + \sin x \le 3 $

Знаменатель $ 2 + \sin x $ принимает значения от 1 до 3 включительно. Так как знаменатель всегда положителен, то мы можем оценить значение дроби. Функция $ y = \frac{1}{t} $ является убывающей на промежутке $ [1; 3] $. Поэтому наименьшее значение дроби будет достигаться при наибольшем значении знаменателя, а наибольшее - при наименьшем.

Наименьшее значение выражения:

$ \frac{1}{\max(2 + \sin x)} = \frac{1}{3} $

Наибольшее значение выражения:

$ \frac{1}{\min(2 + \sin x)} = \frac{1}{1} = 1 $

Таким образом, область значений выражения - это отрезок $ [\frac{1}{3}; 1] $.

Ответ: $ [\frac{1}{3}; 1] $.

2) Найдем область значений выражения $ \frac{1}{1 - \cos x} $. Сначала определим область значений знаменателя $ 1 - \cos x $.

Область значений функции $ \cos x $ - это отрезок $ [-1; 1] $:

$ -1 \le \cos x \le 1 $

Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$ -1 \cdot 1 \ge -1 \cdot \cos x \ge -1 \cdot (-1) $

$ -1 \le -\cos x \le 1 $

Прибавим ко всем частям неравенства число 1:

$ 1 - 1 \le 1 - \cos x \le 1 + 1 $

$ 0 \le 1 - \cos x \le 2 $

Выражение в знаменателе не может быть равно нулю, так как на ноль делить нельзя. Значит, $ 1 - \cos x \ne 0 $, или $ \cos x \ne 1 $. Поэтому знаменатель принимает значения из полуинтервала $ (0; 2] $.

Пусть $ t = 1 - \cos x $, тогда $ 0 < t \le 2 $. Рассмотрим функцию $ y = \frac{1}{t} $ на этом промежутке.

При $ t = 2 $ (наибольшее значение знаменателя), функция принимает наименьшее значение:

$ y_{min} = \frac{1}{2} $

Когда значение $ t $ стремится к нулю справа ($ t \to 0^+ $), значение дроби $ \frac{1}{t} $ стремится к плюс бесконечности ($ +\infty $). Таким образом, выражение не имеет наибольшего значения.

Область значений выражения - это луч $ [\frac{1}{2}; +\infty) $.

Ответ: $ [\frac{1}{2}; +\infty) $.

3) Найдем область значений выражения $ \frac{2}{4\sin x - 3} $. Сначала определим область значений знаменателя $ 4\sin x - 3 $.

Область значений функции $ \sin x $ - это отрезок $ [-1; 1] $:

$ -1 \le \sin x \le 1 $

Умножим все части неравенства на 4:

$ -4 \le 4\sin x \le 4 $

Вычтем из всех частей неравенства число 3:

$ -4 - 3 \le 4\sin x - 3 \le 4 - 3 $

$ -7 \le 4\sin x - 3 \le 1 $

Знаменатель $ 4\sin x - 3 $ принимает значения от -7 до 1 включительно. Однако знаменатель не может быть равен нулю. Найдем, когда $ 4\sin x - 3 = 0 $: это происходит при $ \sin x = \frac{3}{4} $. Такое значение $ \sin x $ возможно, поэтому точка 0 должна быть исключена из области значений знаменателя.

Таким образом, знаменатель $ t = 4\sin x - 3 $ принимает значения из объединения двух промежутков: $ [-7; 0) \cup (0; 1] $.

Рассмотрим поведение функции $ y = \frac{2}{t} $ на каждом из этих промежутков.

1. Если $ t \in [-7; 0) $ (знаменатель отрицательный):

Функция $ y = \frac{2}{t} $ является убывающей. Наибольшее значение на этом промежутке достигается при $ t = -7 $ и равно $ \frac{2}{-7} = -\frac{2}{7} $. Когда $ t $ стремится к нулю слева ($ t \to 0^- $), значение $ y $ стремится к минус бесконечности ($ -\infty $). Значит, на этом промежутке значения выражения принадлежат лучу $ (-\infty; -\frac{2}{7}] $.

2. Если $ t \in (0; 1] $ (знаменатель положительный):

Функция $ y = \frac{2}{t} $ также является убывающей. Наименьшее значение на этом промежутке достигается при $ t = 1 $ и равно $ \frac{2}{1} = 2 $. Когда $ t $ стремится к нулю справа ($ t \to 0^+ $), значение $ y $ стремится к плюс бесконечности ($ +\infty $). Значит, на этом промежутке значения выражения принадлежат лучу $ [2; +\infty) $.

Объединяя результаты для обоих случаев, получаем, что область значений исходного выражения есть объединение двух лучей: $ (-\infty; -\frac{2}{7}] \cup [2; +\infty) $.

Ответ: $ (-\infty; -\frac{2}{7}] \cup [2; +\infty) $.

18.16. Найдите область значений функции:

1) $y = \frac{2}{3-\cos x}$;

2) $y = \frac{1}{\sin x + 1}$;

3) $y = \frac{1}{1-2\cos x}$.

1) Для функции $y = \frac{2}{3 - \cos x}$ найдем область значений, исходя из области значений функции косинуса.
Область значений функции $\cos x$ - это отрезок $[-1; 1]$, то есть:
$-1 \le \cos x \le 1$
Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$1 \ge -\cos x \ge -1$, или, что то же самое, $-1 \le -\cos x \le 1$.
Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$3 - 1 \le 3 - \cos x \le 3 + 1$
$2 \le 3 - \cos x \le 4$
Знаменатель $3 - \cos x$ всегда положителен и находится в пределах от 2 до 4. Так как функция $f(t) = \frac{1}{t}$ является убывающей на интервале $(0; +\infty)$, мы можем взять обратные величины, поменяв знаки неравенства:
$\frac{1}{4} \le \frac{1}{3 - \cos x} \le \frac{1}{2}$
Теперь умножим все части неравенства на 2:
$2 \cdot \frac{1}{4} \le \frac{2}{3 - \cos x} \le 2 \cdot \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} \le y \le 1$
Таким образом, область значений функции - это отрезок $[\frac{1}{2}; 1]$.
Ответ: $E(y) = [\frac{1}{2}; 1]$.

2) Для функции $y = \frac{1}{\sin x + 1}$ найдем область значений, исходя из области значений функции синуса.
Область значений функции $\sin x$ - это отрезок $[-1; 1]$:
$-1 \le \sin x \le 1$
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-1 + 1 \le \sin x + 1 \le 1 + 1$
$0 \le \sin x + 1 \le 2$
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому мы должны исключить случай, когда $\sin x + 1 = 0$, то есть $\sin x = -1$.
Следовательно, знаменатель $ \sin x + 1 $ принимает значения из полуинтервала $(0; 2]$.
Пусть $t = \sin x + 1$, тогда $0 < t \le 2$. Нам нужно найти область значений функции $y = \frac{1}{t}$ при $t \in (0; 2]$.
Когда $t$ принимает наибольшее значение $t=2$, $y$ принимает наименьшее значение $y = \frac{1}{2}$.
Когда $t$ стремится к нулю справа ($t \to 0^+$), значение $y = \frac{1}{t}$ стремится к плюс бесконечности ($y \to +\infty$).
Таким образом, область значений функции - это промежуток $[\frac{1}{2}; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = [\frac{1}{2}; +\infty)$.

3) Для функции $y = \frac{1}{1 - 2\cos x}$ найдем область значений, исходя из области значений функции косинуса.
Область значений функции $\cos x$ - это отрезок $[-1; 1]$:
$-1 \le \cos x \le 1$
Умножим все части неравенства на 2:
$-2 \le 2\cos x \le 2$
Умножим на -1, изменив знаки неравенства:
$2 \ge -2\cos x \ge -2$, или $-2 \le -2\cos x \le 2$.
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$1 - 2 \le 1 - 2\cos x \le 1 + 2$
$-1 \le 1 - 2\cos x \le 3$
Знаменатель $1 - 2\cos x$ не может быть равен нулю. Это происходит, когда $1 - 2\cos x = 0$, то есть $\cos x = \frac{1}{2}$. Так как это значение входит в область значений косинуса, мы должны исключить 0 из множества значений знаменателя.
Пусть $t = 1 - 2\cos x$. Тогда множество значений $t$ - это объединение промежутков $[-1; 0) \cup (0; 3]$.
Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{t}$ на этих промежутках:
1. Если $t \in (0; 3]$, то $y$ принимает значения от $\frac{1}{3}$ (при $t=3$) до $+\infty$ (при $t \to 0^+$). Таким образом, $y \in [\frac{1}{3}; +\infty)$.
2. Если $t \in [-1; 0)$, то $y$ принимает значения от $-\infty$ (при $t \to 0^-$) до $-1$ (при $t=-1$). Таким образом, $y \in (-\infty; -1]$.
Объединяя эти два промежутка, получаем область значений исходной функции.
Ответ: $E(y) = (-\infty; -1] \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$.

18.17. Докажите, что $\sin \alpha = -\cos \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$.

Для доказательства тождества $ \sin\alpha = -\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) $ необходимо преобразовать правую часть равенства и показать, что она равна левой.

Рассмотрим правую часть: $ -\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) $.
Для упрощения выражения $ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) $ воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:
$ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $

Применим эту формулу, где $ x = \frac{\pi}{2} $ и $ y = \alpha $:
$ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos(\alpha) - \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \sin(\alpha) $

Мы знаем значения тригонометрических функций для угла $ \frac{\pi}{2} $:
$ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $
$ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $

Подставим эти значения в полученное выражение:
$ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = 0 \cdot \cos(\alpha) - 1 \cdot \sin(\alpha) = -\sin\alpha $

Теперь вернемся к правой части исходного тождества и подставим в нее полученный результат:
$ -\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -(-\sin\alpha) = \sin\alpha $

Таким образом, мы показали, что правая часть равенства $ -\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) $ тождественно равна левой части $ \sin\alpha $.
$ \sin\alpha = \sin\alpha $
Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

18.18. Докажите, что $cos \alpha = -\cos(\pi + \alpha)$.

Для доказательства тождества $ \cos \alpha = -\cos(\pi + \alpha) $ воспользуемся формулой косинуса суммы, также известной как формула приведения.

Формула косинуса суммы двух углов имеет вид:$ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $

Преобразуем выражение $ \cos(\pi + \alpha) $, используя данную формулу, где $ x = \pi $ и $ y = \alpha $:

$ \cos(\pi + \alpha) = \cos \pi \cdot \cos \alpha - \sin \pi \cdot \sin \alpha $

Нам известны значения тригонометрических функций для угла $ \pi $: $ \cos \pi = -1 $ и $ \sin \pi = 0 $. Подставим эти значения в выражение:

$ \cos(\pi + \alpha) = (-1) \cdot \cos \alpha - 0 \cdot \sin \alpha $

После упрощения получаем:

$ \cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha $

Теперь подставим этот результат в правую часть исходного тождества, которое мы доказываем:

$ -\cos(\pi + \alpha) = -(-\cos \alpha) = \cos \alpha $

Таким образом, мы показали, что правая часть тождества $ -\cos(\pi + \alpha) $ равна его левой части $ \cos \alpha $, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $ \cos \alpha = -\cos(\pi + \alpha) $ доказано.