Страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей?

2. Какие из тригонометрических функций являются чётными, а какие — нечётными? Запишите соответствующие равенства.

1. Какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей?

Знаки тригонометрических функций определяются положением точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Координаты этой точки $(x, y)$ связаны с тригонометрическими функциями следующим образом: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$. Отсюда следуют определения для тангенса и котангенса: $\tan(\alpha) = \frac{y}{x} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ и $\cot(\alpha) = \frac{x}{y} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

Рассмотрим знаки в каждой из четырёх координатных четвертей (отсчёт ведётся против часовой стрелки):

• I четверть (угол $\alpha$ от $0^\circ$ до $90^\circ$, или от $0$ до $\pi/2$ радиан):
  Здесь обе координаты положительны: $x > 0$ и $y > 0$.
  Следовательно:
  • $\sin(\alpha) > 0$ (положительный)
  • $\cos(\alpha) > 0$ (положительный)
  • $\tan(\alpha) > 0$ (положительный)
  • $\cot(\alpha) > 0$ (положительный)
• II четверть (угол $\alpha$ от $90^\circ$ до $180^\circ$, или от $\pi/2$ до $\pi$ радиан):
  Здесь $x < 0$ (отрицательная) и $y > 0$ (положительная).
  Следовательно:
  • $\sin(\alpha) > 0$ (положительный)
  • $\cos(\alpha) < 0$ (отрицательный)
  • $\tan(\alpha) < 0$ (отрицательный)
  • $\cot(\alpha) < 0$ (отрицательный)
• III четверть (угол $\alpha$ от $180^\circ$ до $270^\circ$, или от $\pi$ до $3\pi/2$ радиан):
  Здесь обе координаты отрицательны: $x < 0$ и $y < 0$.
  Следовательно:
  • $\sin(\alpha) < 0$ (отрицательный)
  • $\cos(\alpha) < 0$ (отрицательный)
  • $\tan(\alpha) > 0$ (положительный, так как частное двух отрицательных чисел)
  • $\cot(\alpha) > 0$ (положительный)
• IV четверть (угол $\alpha$ от $270^\circ$ до $360^\circ$, или от $3\pi/2$ до $2\pi$ радиан):
  Здесь $x > 0$ (положительная) и $y < 0$ (отрицательная).
  Следовательно:
  • $\sin(\alpha) < 0$ (отрицательный)
  • $\cos(\alpha) > 0$ (положительный)
  • $\tan(\alpha) < 0$ (отрицательный)
  • $\cot(\alpha) < 0$ (отрицательный)

Ответ: Знаки тригонометрических функций по четвертям:
• Синус ($\sin$): +, +, –, –
• Косинус ($\cos$): +, –, –, +
• Тангенс ($\tan$) и котангенс ($\cot$): +, –, +, –

2. Какие из тригонометрических функций являются чётными, а какие — нечётными? Запишите соответствующие равенства.

Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График такой функции симметричен относительно начала координат.

Рассмотрим каждую тригонометрическую функцию:

• Косинус ($y = \cos(x)$). На единичной окружности углам $x$ и $-x$ соответствуют точки с одинаковыми абсциссами. Так как косинус — это абсцисса точки, то $\cos(-x) = \cos(x)$. Следовательно, косинус является чётной функцией.
• Синус ($y = \sin(x)$). Углам $x$ и $-x$ соответствуют точки с противоположными по знаку ординатами. Так как синус — это ордината точки, то $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно, синус является нечётной функцией.
• Тангенс ($y = \tan(x)$). Используя определения чётности для синуса и косинуса, получаем:
  $\tan(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x)$.
  Следовательно, тангенс является нечётной функцией.
• Котангенс ($y = \cot(x)$). Аналогично тангенсу:
  $\cot(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cos(x)}{-\sin(x)} = -\cot(x)$.
  Следовательно, котангенс является нечётной функцией.

Ответ: Единственной чётной тригонометрической функцией является косинус. Синус, тангенс и котангенс являются нечётными функциями.
Соответствующие равенства:
Для чётной функции: $\cos(-x) = \cos(x)$
Для нечётных функций:
$\sin(-x) = -\sin(x)$
$\tan(-x) = -\tan(x)$
$\cot(-x) = -\cot(x)$

19.1. Положительным или отрицательным числом является значение тригонометрической функции: 1) $\sin (-280^\circ)$; 2) $\cos 340^\circ$; 3) $\sin (-130^\circ)$; 4) $\cos 2$; 5) $\sin (-3)$; 6) $\tan 1$; 7) $\cot \frac{7\pi}{4}$; 8) $\tan \frac{5\pi}{6}$?

Для определения знака тригонометрической функции необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол, и вспомнить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в каждой из четвертей.

• I четверть ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$ или $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): все функции положительны.
• II четверть ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$ или $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): положителен только синус.
• III четверть ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$ или $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): положительны тангенс и котангенс.
• IV четверть ($270^\circ < \alpha < 360^\circ$ или $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): положителен только косинус.

Также используются свойства четности и нечетности функций:
$ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $ (нечетная)
$ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $ (четная)
$ \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha) $ (нечетная)
$ \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $ (нечетная)

1) $ \sin(-280^\circ) $
Приведем угол к положительному значению в пределах от $0^\circ$ до $360^\circ$, воспользовавшись периодичностью синуса: $ -280^\circ + 360^\circ = 80^\circ $.
Таким образом, $ \sin(-280^\circ) = \sin(80^\circ) $.
Угол $ 80^\circ $ находится в первой четверти, где синус положителен.
Ответ: положительное число.

2) $ \cos(340^\circ) $
Угол $ 340^\circ $ находится в четвертой четверти, так как $ 270^\circ < 340^\circ < 360^\circ $. В этой четверти косинус положителен.
Ответ: положительное число.

3) $ \sin(-130^\circ) $
Используем свойство нечетности синуса: $ \sin(-130^\circ) = -\sin(130^\circ) $.
Угол $ 130^\circ $ находится во второй четверти ($ 90^\circ < 130^\circ < 180^\circ $), где синус положителен.
Следовательно, $ -\sin(130^\circ) $ будет отрицательным числом.
Ответ: отрицательное число.

4) $ \cos(2) $
Угол задан в радианах. Определим, в какой четверти он находится, используя приближенное значение $ \pi \approx 3.14 $.
$ \frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57 $.
$ \pi \approx 3.14 $.
Поскольку $ 1.57 < 2 < 3.14 $, то есть $ \frac{\pi}{2} < 2 < \pi $, угол в 2 радиана лежит во второй четверти. Косинус во второй четверти отрицателен.
Ответ: отрицательное число.

5) $ \sin(-3) $
Используем свойство нечетности синуса: $ \sin(-3) = -\sin(3) $.
Угол в 3 радиана лежит во второй четверти, так как $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 3 < \pi \approx 3.14 $.
Синус во второй четверти положителен ($ \sin(3) > 0 $).
Следовательно, $ -\sin(3) $ будет отрицательным числом.
Ответ: отрицательное число.

6) $ \text{tg}(1) $
Угол в 1 радиан лежит в первой четверти, так как $ 0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $.
Тангенс в первой четверти положителен.
Ответ: положительное число.

7) $ \text{ctg}(\frac{7\pi}{4}) $
Угол $ \frac{7\pi}{4} $ находится в четвертой четверти, так как $ \frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi $ ($ \frac{6\pi}{4} < \frac{7\pi}{4} < \frac{8\pi}{4} $).
В четвертой четверти котангенс отрицателен (так как синус отрицателен, а косинус положителен).
Ответ: отрицательное число.

8) $ \text{tg}(\frac{5\pi}{6}) $
Угол $ \frac{5\pi}{6} $ находится во второй четверти, так как $ \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi $ ($ \frac{3\pi}{6} < \frac{5\pi}{6} < \frac{6\pi}{6} $).
Во второй четверти тангенс отрицателен (так как синус положителен, а косинус отрицателен).
Ответ: отрицательное число.