Вопросы?, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей?

2. Какие из тригонометрических функций являются чётными, а какие — нечётными? Запишите соответствующие равенства.

1. Какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей?

Знаки тригонометрических функций определяются положением точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Координаты этой точки $(x, y)$ связаны с тригонометрическими функциями следующим образом: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$. Отсюда следуют определения для тангенса и котангенса: $\tan(\alpha) = \frac{y}{x} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ и $\cot(\alpha) = \frac{x}{y} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

Рассмотрим знаки в каждой из четырёх координатных четвертей (отсчёт ведётся против часовой стрелки):

• I четверть (угол $\alpha$ от $0^\circ$ до $90^\circ$, или от $0$ до $\pi/2$ радиан):
  Здесь обе координаты положительны: $x > 0$ и $y > 0$.
  Следовательно:
  • $\sin(\alpha) > 0$ (положительный)
  • $\cos(\alpha) > 0$ (положительный)
  • $\tan(\alpha) > 0$ (положительный)
  • $\cot(\alpha) > 0$ (положительный)
• II четверть (угол $\alpha$ от $90^\circ$ до $180^\circ$, или от $\pi/2$ до $\pi$ радиан):
  Здесь $x < 0$ (отрицательная) и $y > 0$ (положительная).
  Следовательно:
  • $\sin(\alpha) > 0$ (положительный)
  • $\cos(\alpha) < 0$ (отрицательный)
  • $\tan(\alpha) < 0$ (отрицательный)
  • $\cot(\alpha) < 0$ (отрицательный)
• III четверть (угол $\alpha$ от $180^\circ$ до $270^\circ$, или от $\pi$ до $3\pi/2$ радиан):
  Здесь обе координаты отрицательны: $x < 0$ и $y < 0$.
  Следовательно:
  • $\sin(\alpha) < 0$ (отрицательный)
  • $\cos(\alpha) < 0$ (отрицательный)
  • $\tan(\alpha) > 0$ (положительный, так как частное двух отрицательных чисел)
  • $\cot(\alpha) > 0$ (положительный)
• IV четверть (угол $\alpha$ от $270^\circ$ до $360^\circ$, или от $3\pi/2$ до $2\pi$ радиан):
  Здесь $x > 0$ (положительная) и $y < 0$ (отрицательная).
  Следовательно:
  • $\sin(\alpha) < 0$ (отрицательный)
  • $\cos(\alpha) > 0$ (положительный)
  • $\tan(\alpha) < 0$ (отрицательный)
  • $\cot(\alpha) < 0$ (отрицательный)

Ответ: Знаки тригонометрических функций по четвертям:
• Синус ($\sin$): +, +, –, –
• Косинус ($\cos$): +, –, –, +
• Тангенс ($\tan$) и котангенс ($\cot$): +, –, +, –

2. Какие из тригонометрических функций являются чётными, а какие — нечётными? Запишите соответствующие равенства.

Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График такой функции симметричен относительно начала координат.

Рассмотрим каждую тригонометрическую функцию:

• Косинус ($y = \cos(x)$). На единичной окружности углам $x$ и $-x$ соответствуют точки с одинаковыми абсциссами. Так как косинус — это абсцисса точки, то $\cos(-x) = \cos(x)$. Следовательно, косинус является чётной функцией.
• Синус ($y = \sin(x)$). Углам $x$ и $-x$ соответствуют точки с противоположными по знаку ординатами. Так как синус — это ордината точки, то $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно, синус является нечётной функцией.
• Тангенс ($y = \tan(x)$). Используя определения чётности для синуса и косинуса, получаем:
  $\tan(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x)$.
  Следовательно, тангенс является нечётной функцией.
• Котангенс ($y = \cot(x)$). Аналогично тангенсу:
  $\cot(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cos(x)}{-\sin(x)} = -\cot(x)$.
  Следовательно, котангенс является нечётной функцией.

Ответ: Единственной чётной тригонометрической функцией является косинус. Синус, тангенс и котангенс являются нечётными функциями.
Соответствующие равенства:
Для чётной функции: $\cos(-x) = \cos(x)$
Для нечётных функций:
$\sin(-x) = -\sin(x)$
$\tan(-x) = -\tan(x)$
$\cot(-x) = -\cot(x)$