Номер 19.2, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.2. Какой знак имеет:

1) $\sin 186^\circ$;

2) $\operatorname{tg} 104^\circ$;

3) $\operatorname{ctg} 340^\circ$;

4) $\cos (-78^\circ)$;

5) $\operatorname{ctg} (-291^\circ)$;

6) $\sin \frac{3\pi}{7}$;

7) $\operatorname{tg} \frac{9\pi}{8}$;

8) $\cos \left(-\frac{13\pi}{12}\right)?$

1) sin 186°
Для определения знака тригонометрической функции необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол. Знаки тригонометрических функций по четвертям:

• I четверть (от 0° до 90°): sin(+,+), cos(+,+), tg(+,+), ctg(+,+)
• II четверть (от 90° до 180°): sin(+,+), cos(-,-), tg(-,-), ctg(-,-)
• III четверть (от 180° до 270°): sin(-,-), cos(-,-), tg(+,+), ctg(+,+)
• IV четверть (от 270° до 360°): sin(-,-), cos(+,+), tg(-,-), ctg(-,-)

Угол $186°$ удовлетворяет неравенству $180° < 186° < 270°$. Следовательно, угол $186°$ находится в III координатной четверти. В III четверти синус имеет отрицательный знак. Таким образом, $sin 186° < 0$.
Ответ: минус.

2) tg 104°
Угол $104°$ удовлетворяет неравенству $90° < 104° < 180°$. Следовательно, угол $104°$ находится во II координатной четверти. Во II четверти тангенс имеет отрицательный знак. Таким образом, $tg 104° < 0$.
Ответ: минус.

3) ctg 340°
Угол $340°$ удовлетворяет неравенству $270° < 340° < 360°$. Следовательно, угол $340°$ находится в IV координатной четверти. В IV четверти котангенс имеет отрицательный знак. Таким образом, $ctg 340° < 0$.
Ответ: минус.

4) cos(-78°)
Функция косинус является четной, то есть $cos(-x) = cos(x)$. Следовательно, $cos(-78°) = cos(78°)$. Угол $78°$ удовлетворяет неравенству $0° < 78° < 90°$. Следовательно, угол $78°$ находится в I координатной четверти. В I четверти косинус имеет положительный знак. Таким образом, $cos(-78°) > 0$.
Ответ: плюс.

5) ctg(-291°)
Функция котангенс является нечетной, то есть $ctg(-x) = -ctg(x)$. Значит, $ctg(-291°) = -ctg(291°)$. Угол $291°$ находится в IV четверти ($270° < 291° < 360°$), где котангенс отрицателен. Минус на минус дает плюс.
Другой способ: воспользуемся периодичностью котангенса, прибавив $360°$ к аргументу: $ctg(-291°) = ctg(-291° + 360°) = ctg(69°)$. Угол $69°$ находится в I четверти ($0° < 69° < 90°$), где котангенс положителен. Таким образом, $ctg(-291°) > 0$.
Ответ: плюс.

6) sin $\frac{3\pi}{7}$
Угол задан в радианах. Определим, в какой четверти он находится, сравнив его с границами четвертей ($0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$). Сравним $\frac{3\pi}{7}$ с $\frac{\pi}{2}$. Для этого сравним дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{1}{2}$. Приводя к общему знаменателю: $\frac{6}{14}$ и $\frac{7}{14}$. Поскольку $6 < 7$, то $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$. Значит, $0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$, и угол находится в I четверти. В I четверти синус имеет положительный знак. Таким образом, $sin \frac{3\pi}{7} > 0$.
Ответ: плюс.

7) tg $\frac{9\pi}{8}$
Представим угол в виде $\frac{9\pi}{8} = \frac{8\pi + \pi}{8} = \pi + \frac{\pi}{8}$. Это означает, что угол $\frac{9\pi}{8}$ больше $\pi$. Сравним его с $\frac{3\pi}{2}$: $\frac{9\pi}{8}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{12\pi}{8}$. Поскольку $\frac{9\pi}{8} < \frac{12\pi}{8}$, выполняется неравенство $\pi < \frac{9\pi}{8} < \frac{3\pi}{2}$. Это соответствует III координатной четверти. В III четверти тангенс имеет положительный знак. Следовательно, $tg \frac{9\pi}{8} > 0$.
Ответ: плюс.

8) cos $(-\frac{13\pi}{12})$
Функция косинус является четной, поэтому $cos(-\frac{13\pi}{12}) = cos(\frac{13\pi}{12})$. Представим угол в виде $\frac{13\pi}{12} = \frac{12\pi + \pi}{12} = \pi + \frac{\pi}{12}$. Это означает, что угол $\frac{13\pi}{12}$ больше $\pi$. Сравним его с $\frac{3\pi}{2}$: $\frac{13\pi}{12}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{18\pi}{12}$. Поскольку $\frac{13\pi}{12} < \frac{18\pi}{12}$, выполняется неравенство $\pi < \frac{13\pi}{12} < \frac{3\pi}{2}$. Это соответствует III координатной четверти. В III четверти косинус имеет отрицательный знак. Следовательно, $cos(-\frac{13\pi}{12}) < 0$.
Ответ: минус.