Номер 18.14, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.14. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $\frac{1}{\cos \alpha - 2}$;

2) $\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha}$;

3) $\sin \alpha + \cos \alpha - \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha}$.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $ \frac{1}{\cos\alpha - 2} $ проанализируем его знаменатель.

Область значений функции косинус — это отрезок $ [-1, 1] $, то есть $ -1 \le \cos\alpha \le 1 $.

Найдем диапазон значений знаменателя $ \cos\alpha - 2 $:

• Наименьшее значение знаменателя достигается при $ \cos\alpha = -1 $ и равно $ -1 - 2 = -3 $.
• Наибольшее значение знаменателя достигается при $ \cos\alpha = 1 $ и равно $ 1 - 2 = -1 $.

Таким образом, знаменатель принимает значения в промежутке $ [-3, -1] $.

Так как знаменатель всегда отрицателен, всё выражение также будет всегда отрицательным. Функция $ y = \frac{1}{x} $ является убывающей на интервале $ (-\infty, 0) $. Это означает, что наименьшему значению знаменателя соответствует наибольшее значение дроби, а наибольшему значению знаменателя — наименьшее значение дроби.

• Наибольшее значение выражения: $ \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} $.
• Наименьшее значение выражения: $ \frac{1}{-1} = -1 $.

Ответ: Наибольшее значение: $ -\frac{1}{3} $; наименьшее значение: $ -1 $.

2) Рассмотрим выражение $ \frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\sin\alpha} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) этого выражения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $ \sin\alpha \neq 0 $. Это означает, что $ \alpha \neq \pi k $, где $ k $ — любое целое число.

На ОДЗ мы можем сократить дробь: $ \frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha $.

Теперь нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения $ \cos\alpha $ при условии $ \alpha \neq \pi k $.

Известно, что $ -1 \le \cos\alpha \le 1 $. Однако:

• Значение $ \cos\alpha = 1 $ достигается при $ \alpha = 2\pi k $, что не входит в ОДЗ, так как при этих значениях $ \sin\alpha = 0 $.
• Значение $ \cos\alpha = -1 $ достигается при $ \alpha = \pi + 2\pi k $, что также не входит в ОДЗ, так как $ \sin\alpha = 0 $.

Следовательно, выражение может принимать любые значения в интервале $ (-1, 1) $, но не может достигать своих крайних значений. Таким образом, наибольшего и наименьшего значений у данного выражения не существует.

Ответ: Наибольшего и наименьшего значений не существует.

3) Рассмотрим выражение $ \sin\alpha + \cos\alpha - \frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\cos\alpha} $.

ОДЗ этого выражения определяется условием $ \cos\alpha \neq 0 $. Это означает, что $ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число.

На ОДЗ мы можем упростить выражение:

$ \sin\alpha + \cos\alpha - \frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\cos\alpha} = \sin\alpha + \cos\alpha - \sin\alpha = \cos\alpha $.

Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения $ \cos\alpha $ при условии $ \cos\alpha \neq 0 $.

Область значений функции косинус — это отрезок $ [-1, 1] $.

• Наибольшее значение $ \cos\alpha = 1 $ достигается при $ \alpha = 2\pi k $. Это не противоречит ОДЗ ($ \cos(2\pi k) = 1 \neq 0 $).
• Наименьшее значение $ \cos\alpha = -1 $ достигается при $ \alpha = \pi + 2\pi k $. Это также не противоречит ОДЗ ($ \cos(\pi + 2\pi k) = -1 \neq 0 $).

Таким образом, выражение может достигать своих максимальных и минимальных значений.

Ответ: Наибольшее значение: $ 1 $; наименьшее значение: $ -1 $.