Номер 18.9, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.9. При каких значениях $a$ возможно равенство:

1) $\sin x = a^2 + 1;$

2) $\cos x = a^2 - 1;$

3) $\cos x = a^2 - 5a + 5?$

Основное свойство тригонометрических функций синуса и косинуса заключается в том, что их область значений — это отрезок $[-1, 1]$. То есть для любого действительного числа $x$ выполняются неравенства $-1 \le \sin x \le 1$ и $-1 \le \cos x \le 1$. Чтобы данное в задаче равенство было возможно, его правая часть, зависящая от параметра $a$, должна принимать значения из этого отрезка.

1) $\sin x = a^2 + 1$

Равенство возможно, если выполняется условие:

$-1 \le a^2 + 1 \le 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} a^2 + 1 \ge -1 \\ a^2 + 1 \le 1 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $a^2 \ge -2$. Так как квадрат любого действительного числа $a$ всегда неотрицателен ($a^2 \ge 0$), это неравенство выполняется для всех $a \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим второе неравенство: $a^2 \le 1 - 1$, что приводит к $a^2 \le 0$. Поскольку $a^2$ не может быть отрицательным, единственным решением является $a^2 = 0$, откуда следует, что $a = 0$.

Таким образом, система имеет единственное решение $a=0$.

Ответ: $a=0$.

2) $\cos x = a^2 - 1$

Равенство возможно, если выполняется условие:

$-1 \le a^2 - 1 \le 1$

Прибавим $1$ ко всем частям двойного неравенства:

$0 \le a^2 \le 2$

Это двойное неравенство состоит из двух условий: $a^2 \ge 0$, которое верно для любого действительного $a$, и $a^2 \le 2$.

Решим неравенство $a^2 \le 2$. Оно равносильно $a^2 - (\sqrt{2})^2 \le 0$, или $(a - \sqrt{2})(a + \sqrt{2}) \le 0$. Решением этого неравенства является промежуток $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Следовательно, равенство возможно при $a$, принадлежащем этому промежутку.

Ответ: $a \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

3) $\cos x = a^2 - 5a + 5$

Равенство возможно, если выполняется условие:

$-1 \le a^2 - 5a + 5 \le 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} a^2 - 5a + 5 \ge -1 \\ a^2 - 5a + 5 \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$a^2 - 5a + 6 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 5a + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $a_1=2$ и $a_2=3$. Графиком функции является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $a$ находится вне отрезка между корнями, то есть $a \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$a^2 - 5a + 4 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 5a + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $a_1=1$ и $a_2=4$. Графиком функции является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $a$ находится на отрезке между корнями, то есть $a \in [1, 4]$.

Теперь необходимо найти пересечение решений обоих неравенств: $a \in \left((-\infty, 2] \cup [3, \infty)\right) \cap [1, 4]$.

Пересечение дает нам объединение двух отрезков: $[1, 2]$ и $[3, 4]$.

Ответ: $a \in [1, 2] \cup [3, 4]$.