Номер 18.3, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.3. Возможно ли равенство:

1) $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4};$

2) $\cos \alpha = \frac{\pi}{3};$

3) $\operatorname{tg} \alpha = -4;$

4) $\operatorname{ctg} \alpha = \sqrt{26}?$

1) Область значений функции синус — это промежуток $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ должно выполняться неравенство $-1 \le \sin \alpha \le 1$.
Проверим, принадлежит ли значение $-\frac{\sqrt{15}}{4}$ этому промежутку. Для этого сравним его модуль с 1.
$|-\frac{\sqrt{15}}{4}| = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
Чтобы сравнить $\frac{\sqrt{15}}{4}$ и 1, сравним их квадраты: $(\frac{\sqrt{15}}{4})^2 = \frac{15}{16}$.
Так как $\frac{15}{16} < 1$, то и $\frac{\sqrt{15}}{4} < 1$.
Следовательно, $-1 < -\frac{\sqrt{15}}{4} < 1$, и значение входит в область допустимых значений синуса. Такое равенство возможно.
Ответ: Да, возможно.

2) Область значений функции косинус, так же как и синуса, — это промежуток $[-1, 1]$. Для любого угла $\alpha$ должно выполняться неравенство $-1 \le \cos \alpha \le 1$.
Проверим, принадлежит ли значение $\frac{\pi}{3}$ этому промежутку.
Известно, что $\pi \approx 3,14159...$
Следовательно, $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3,14159}{3} \approx 1,047$.
Поскольку $1,047 > 1$, значение $\frac{\pi}{3}$ не принадлежит промежутку $[-1, 1]$. Такое равенство невозможно.
Ответ: Нет, невозможно.

3) Область значений функции тангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $E(\tg) = (-\infty; +\infty)$.
Число -4 является действительным числом, а значит, входит в область значений тангенса. Следовательно, существует такой угол $\alpha$, для которого $\tg \alpha = -4$.
Ответ: Да, возможно.

4) Область значений функции котангенс, как и у тангенса, — это множество всех действительных чисел, то есть $E(\text{ctg}) = (-\infty; +\infty)$.
Число $\sqrt{26}$ является действительным числом (так как $26 > 0$), а значит, входит в область значений котангенса. Следовательно, существует такой угол $\alpha$, для которого $\text{ctg } \alpha = \sqrt{26}$.
Ответ: Да, возможно.