Номер 17.20, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.20. Упростите:

1) ${ \{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} \cup \{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} }$;

2) ${ \{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} \cap \{\pi + 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} }$;

3) ${ \{\pm\frac{\pi}{3} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} \cup \{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} }$;

4) ${ \{\frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} \cap \{\frac{3\pi n}{10} \mid n \in \mathbb{Z}\} }$.

1) $\{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} \cup \{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$

Первое множество $\{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ — это множество всех чисел, кратных $2\pi$. Эти числа также можно описать как четные целые кратные $\pi$. Например: $... -4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, ...$ .
Второе множество $\{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ — это множество всех целых кратных $\pi$. Например: $... -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, ...$ .
Требуется найти объединение ($ \cup $) этих множеств, то есть множество, содержащее все элементы из первого и второго множеств.
Любой элемент первого множества, имеющий вид $x = 2\pi n$, можно представить в виде $x = \pi \cdot (2n)$. Так как $n$ — целое число, то $2n$ также является целым числом. Это означает, что каждый элемент первого множества является также и элементом второго множества. Следовательно, первое множество является подмножеством второго.
Объединение множества с его подмножеством равно самому этому (большему) множеству. Таким образом, результатом является второе множество.

Ответ: $\{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$

2) $\{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} \cap \{\pi + 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$

Первое множество $\{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ — это, как и в предыдущем пункте, множество четных целых кратных $\pi$.
Второе множество $\{\pi + 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ можно переписать, вынеся $\pi$ за скобки: $\{\pi(1 + 2n) \mid n \in \mathbb{Z}\}$. Поскольку выражение $1+2n$ при любом целом $n$ дает нечетное целое число, это множество всех нечетных целых кратных $\pi$. Например: $... -3\pi, -\pi, \pi, 3\pi, ...$ .
Требуется найти пересечение ($ \cap $) этих множеств, то есть множество элементов, которые принадлежат и первому, и второму множеству одновременно.
Одно и то же число не может быть одновременно четным и нечетным кратным $\pi$. Следовательно, у этих двух множеств нет общих элементов. Их пересечение пусто.

Ответ: $\emptyset$

3) $\{\pm \frac{\pi}{3} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} \cup \{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$

Здесь мы ищем объединение трех серий чисел: $\{\frac{\pi}{3} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$, $\{-\frac{\pi}{3} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ и $\{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$.
Давайте рассмотрим, какие точки эти серии задают на отрезке $[0, \pi)$.
- Из $\{\frac{\pi}{3} + \pi n\}$ получаем точку $\frac{\pi}{3}$.
- Из $\{-\frac{\pi}{3} + \pi n\}$ получаем точку $-\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$.
- Из $\{\pi n\}$ получаем точку $0$.
На отрезке $[0, \pi)$ мы имеем точки $0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$. Расстояние между соседними точками постоянно и равно $\frac{\pi}{3}$. Это означает, что все точки объединенного множества образуют арифметическую прогрессию с первым членом $0$ и разностью $\frac{\pi}{3}$.
Общую формулу для всех этих точек можно записать как $\frac{\pi k}{3}$ для любого целого $k$.
Действительно:
- Если $k=3m$ (кратно 3), то получаем $\frac{\pi(3m)}{3} = \pi m$, что соответствует третьей серии.
- Если $k=3m+1$, то получаем $\frac{\pi(3m+1)}{3} = \pi m + \frac{\pi}{3}$, что соответствует первой серии.
- Если $k=3m-1$, то получаем $\frac{\pi(3m-1)}{3} = \pi m - \frac{\pi}{3}$, что соответствует второй серии.
Таким образом, все три серии объединяются в одно множество.

Ответ: $\{\frac{\pi n}{3} \mid n \in \mathbb{Z}\}$

4) $\{\frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} \cap \{\frac{3\pi n}{10} \mid n \in \mathbb{Z}\}$

Чтобы найти пересечение, мы должны найти элементы, которые могут быть представлены в обеих формах. Для этого приравняем выражения для элементов множеств, используя разные переменные для целых чисел, например, $k$ и $m$:
$\frac{\pi}{2} + \pi k = \frac{3\pi m}{10}$
Сократим уравнение на $\pi$:
$\frac{1}{2} + k = \frac{3m}{10}$
Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от знаменателей:
$5 + 10k = 3m$
Мы получили линейное диофантово уравнение. Чтобы $m$ было целым, выражение $5+10k$ должно делиться на 3. Рассмотрим остатки от деления на 3:
$5 + 10k \equiv 0 \pmod{3}$
$2 + k \equiv 0 \pmod{3}$
$k \equiv -2 \pmod{3}$ или $k \equiv 1 \pmod{3}$.
Это означает, что $k$ можно представить в виде $k = 3t + 1$ для некоторого целого числа $t$.
Теперь подставим это выражение для $k$ в формулу для элементов первого множества, чтобы найти общие элементы $x$:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k = \frac{\pi}{2} + \pi (3t + 1) = \frac{\pi}{2} + 3\pi t + \pi = \frac{3\pi}{2} + 3\pi t$.
Заменив переменную $t$ на $n$ для соответствия исходному формату, получаем итоговое множество.

Ответ: $\{\frac{3\pi}{2} + 3\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$