Номер 17.13, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.13. Укажите все действительные числа, соответствующие точке P единичной окружности (рис. 17.8).

а: $\frac{2\pi}{3}$

б: $-\frac{\pi}{4}$

в: $\pi$

Рис. 17.8

а)

На рисунке 17.8 а) точка P на единичной окружности соответствует углу поворота $\frac{2\pi}{3}$ радиан, отсчитанному от начальной точки $P_0(1, 0)$ против часовой стрелки. Поскольку полный оборот по окружности составляет $2\pi$ радиан, то этой же точке P будут соответствовать все углы, которые отличаются от $\frac{2\pi}{3}$ на целое число полных оборотов. Следовательно, все действительные числа, соответствующие точке P, можно найти по формуле, где $k$ — любое целое число:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

б)

На рисунке 17.8 б) точка P соответствует углу поворота от точки $P_0(1, 0)$ по часовой стрелке. Величина угла равна $\frac{\pi}{4}$. Движение по часовой стрелке соответствует отрицательным углам, поэтому один из углов для точки P равен $-\frac{\pi}{4}$. Чтобы указать все действительные числа, соответствующие этой точке, необходимо учесть все возможные полные обороты, добавляя $2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Таким образом, общая формула имеет вид:

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

в)

На рисунке 17.8 в) точка P находится на отрицательной части оси абсцисс, ее координаты $(-1, 0)$. Это положение достигается поворотом точки $P_0(1, 0)$ на угол $\pi$ радиан (половина окружности) против часовой стрелки. Все действительные числа, соответствующие данной точке, получаются добавлением к $\pi$ целого числа полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ — любое целое число). Таким образом, формула для всех чисел, соответствующих точке P, будет:

$\pi + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pi + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.