Номер 17.6, страница 132 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.6. Отметьте на единичной окружности точку, которую получим при повороте точки $P_0(1; 0)$ на угол:

1) $\frac{5\pi}{3}$;

2) $-45^\circ$;

3) $-120^\circ$;

4) $450^\circ$;

5) $-480^\circ$;

6) $-\frac{7\pi}{3}$.

Чтобы отметить на единичной окружности точку, которую мы получим при повороте точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, нужно определить ее координаты $(x; y)$. Координаты находятся по формулам $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$. Положительный угол означает поворот против часовой стрелки, а отрицательный — по часовой стрелке.

1) $\frac{5\pi}{3}$
Угол поворота $\alpha = \frac{5\pi}{3}$. Для удобства переведем радианы в градусы: $\alpha = \frac{5 \cdot 180^\circ}{3} = 300^\circ$.
Так как $270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$, точка находится в IV четверти.
Найдем координаты точки:
$x = \cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(300^\circ) = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
$y = \sin(\frac{5\pi}{3}) = \sin(300^\circ) = \sin(360^\circ - 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: Искомая точка $P_1(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$ расположена в IV четверти.

2) -45°
Угол поворота $\alpha = -45^\circ$. Знак "минус" означает поворот по часовой стрелке. Точка будет находиться в IV четверти.
Найдем координаты точки:
$x = \cos(-45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$y = \sin(-45^\circ) = -\sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: Искомая точка $P_2(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$ расположена в IV четверти на биссектрисе угла.

3) -120°
Угол поворота $\alpha = -120^\circ$. Поворот выполняется по часовой стрелке. Так как $90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$, точка окажется в III четверти.
Найдем координаты точки:
$x = \cos(-120^\circ) = \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$.
$y = \sin(-120^\circ) = -\sin(120^\circ) = -\sin(180^\circ - 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: Искомая точка $P_3(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$ расположена в III четверти.

4) 450°
Угол поворота $\alpha = 450^\circ$. Так как угол больше $360^\circ$, он представляет собой более одного полного оборота. Найдем эквивалентный угол в пределах первого оборота: $450^\circ - 360^\circ = 90^\circ$.
Таким образом, поворот на $450^\circ$ эквивалентен повороту на $90^\circ$. Точка окажется на положительной части оси OY.
Найдем координаты точки:
$x = \cos(450^\circ) = \cos(90^\circ) = 0$.
$y = \sin(450^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$.
Ответ: Искомая точка $P_4(0; 1)$ расположена на оси OY.

5) -480°
Угол поворота $\alpha = -480^\circ$. Угол по модулю больше $360^\circ$, поэтому найдем эквивалентный угол, прибавив $360^\circ$: $-480^\circ + 360^\circ = -120^\circ$.
Этот угол совпадает с углом из пункта 3), следовательно, точка будет той же самой. Она расположена в III четверти.
Найдем координаты точки:
$x = \cos(-480^\circ) = \cos(-120^\circ) = -\frac{1}{2}$.
$y = \sin(-480^\circ) = \sin(-120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: Искомая точка $P_5(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$ расположена в III четверти.

6) $-\frac{7\pi}{3}$
Угол поворота $\alpha = -\frac{7\pi}{3}$. Угол по модулю больше $2\pi$ ($2\pi = \frac{6\pi}{3}$). Найдем эквивалентный угол в пределах от $-2\pi$ до $0$: $-\frac{7\pi}{3} + 2\pi = -\frac{7\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$.
Поворот на $-\frac{7\pi}{3}$ эквивалентен повороту на $-\frac{\pi}{3}$ (или $-60^\circ$). Точка окажется в IV четверти. Эта точка совпадает с точкой из пункта 1).
Найдем координаты точки:
$x = \cos(-\frac{7\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
$y = \sin(-\frac{7\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: Искомая точка $P_6(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$ расположена в IV четверти.