Номер 17.4, страница 132 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.4. Сравните величины углов, заданных в радианах:

1) $\frac{\pi}{2}$ и 1,5;

2) $-\frac{\pi}{2}$ и -2;

3) $\frac{\pi}{3}$ и 1.

1) Сравним величины $\frac{\pi}{2}$ и 1,5.

Для сравнения можно использовать приближенное значение числа $\pi$. Общеизвестно, что $\pi \approx 3,14159...$

Вычислим приближенное значение дроби $\frac{\pi}{2}$:

$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$.

Теперь сравним полученное значение с 1,5:

$1,57 > 1,5$.

Следовательно, можно сделать вывод, что $\frac{\pi}{2} > 1,5$.

Для строгого доказательства достаточно использовать известное неравенство $\pi > 3$. Разделим обе части неравенства на положительное число 2, знак неравенства при этом не изменится:

$\frac{\pi}{2} > \frac{3}{2}$, что то же самое, что и $\frac{\pi}{2} > 1,5$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} > 1,5$.

2) Сравним величины $-\frac{\pi}{2}$ и -2.

Из предыдущего пункта известно, что $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Тогда $-\frac{\pi}{2} \approx -1,57$.

Теперь необходимо сравнить два отрицательных числа: -1,57 и -2. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, либо то, которое на числовой оси расположено правее.

$|-1,57| = 1,57$

$|-2| = 2$

Так как $1,57 < 2$, то $-1,57 > -2$.

Следовательно, $-\frac{\pi}{2} > -2$.

Для строгого доказательства можно использовать неравенство $\pi < 4$. Разделим обе части на 2:

$\frac{\pi}{2} < 2$.

Теперь умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-\frac{\pi}{2} > -2$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} > -2$.

3) Сравним величины $\frac{\pi}{3}$ и 1.

Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

$\frac{\pi}{3} \approx \frac{3,14}{3} \approx 1,047$.

Сравнивая полученное значение с 1, получаем:

$1,047 > 1$.

Таким образом, $\frac{\pi}{3} > 1$.

Для строгого доказательства воспользуемся неравенством $\pi > 3$. Разделим обе части неравенства на 3:

$\frac{\pi}{3} > \frac{3}{3}$, то есть $\frac{\pi}{3} > 1$.

Ответ: $\frac{\pi}{3} > 1$.