Страница 132 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют углом в один радиан?

2. Чему равна длина дуги окружности радиуса $R$, содержащей $\alpha$ рад?

3. Каким числом может выражаться угол поворота?

4. Сколько точек определяет на единичной окружности угол поворота?

5. Сколько углов поворота соответствуют положению точки на единичной окружности?

1. Что называют углом в один радиан?

Углом в один радиан называют центральный угол окружности, который опирается на дугу, длина которой равна радиусу этой окружности. Если радиус окружности равен $R$, то центральный угол, стягивающий дугу длиной $R$, равен одному радиану (1 рад).

Ответ: Центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

2. Чему равна длина дуги окружности радиуса R, содержащей α рад?

Длина дуги окружности прямо пропорциональна величине центрального угла в радианах. Длина дуги $L$ окружности радиуса $R$, которая соответствует центральному углу величиной $\alpha$ радиан, вычисляется по формуле: $L = \alpha \cdot R$.

Ответ: Длина дуги равна произведению величины угла в радианах на радиус окружности, $L = \alpha R$.

3. Каким числом может выражаться угол поворота?

Угол поворота может выражаться любым действительным (вещественным) числом. Положительные числа соответствуют повороту против часовой стрелки, отрицательные — по часовой стрелке. Угол может быть больше $360^{\circ}$ (или $2\pi$ радиан), что означает совершение одного или нескольких полных оборотов. Таким образом, угол поворота может принимать любое значение из промежутка $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Любым действительным числом.

4. Сколько точек определяет на единичной окружности угол поворота?

Каждый заданный угол поворота определяет на единичной окружности ровно одну точку. Эта точка является конечным положением начальной точки (обычно (1, 0)) после ее поворота на данный угол вокруг центра окружности.

Ответ: Одну точку.

5. Сколько углов поворота соответствуют положению точки на единичной окружности?

Каждому положению точки на единичной окружности соответствует бесконечное множество углов поворота. Если $\alpha$ — один из углов, соответствующий данной точке, то все остальные углы, приводящие в эту же точку, можно найти по формуле $\alpha + 2\pi k$ (в радианах) или $\alpha + 360^{\circ}k$ (в градусах), где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Это происходит потому, что полный оборот ($2\pi$ радиан или $360^{\circ}$) возвращает точку в исходное положение.

Ответ: Бесконечное множество.

17.1. Найдите радианную меру угла, равного:

1) $25^\circ$; 3) $100^\circ$; 5) $210^\circ$;

2) $40^\circ$; 4) $160^\circ$; 6) $300^\circ$.

Для перевода градусной меры угла в радианную используется формула, которая связывает полный оборот в градусах (360°) с полным оборотом в радианах (2π радиан). Из этого соотношения следует, что 180° = π радиан. Чтобы перевести угол из градусов в радианы, нужно умножить значение угла в градусах на множитель `$ \frac{\pi}{180^{\circ}} $`.

Формула для перевода:

`$ \alpha_{рад} = \alpha_{град} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} $`

Применим эту формулу для каждого из заданных углов.

1) 25°

Чтобы найти радианную меру угла в 25°, умножим это значение на `$ \frac{\pi}{180^{\circ}} $`:

`$ 25^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{25\pi}{180} $`

Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 25 и 180 равен 5:

`$ \frac{25\pi}{180} = \frac{(5 \cdot 5)\pi}{5 \cdot 36} = \frac{5\pi}{36} $`

Ответ: `$ \frac{5\pi}{36} $`

2) 40°

Найдем радианную меру для угла в 40°:

`$ 40^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{40\pi}{180} $`

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 40 и 180 равен 20:

`$ \frac{40\pi}{180} = \frac{(2 \cdot 20)\pi}{9 \cdot 20} = \frac{2\pi}{9} $`

Ответ: `$ \frac{2\pi}{9} $`

3) 100°

Найдем радианную меру для угла в 100°:

`$ 100^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{100\pi}{180} $`

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 100 и 180 равен 20:

`$ \frac{100\pi}{180} = \frac{(5 \cdot 20)\pi}{9 \cdot 20} = \frac{5\pi}{9} $`

Ответ: `$ \frac{5\pi}{9} $`

4) 160°

Найдем радианную меру для угла в 160°:

`$ 160^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{160\pi}{180} $`

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 160 и 180 равен 20:

`$ \frac{160\pi}{180} = \frac{(8 \cdot 20)\pi}{9 \cdot 20} = \frac{8\pi}{9} $`

Ответ: `$ \frac{8\pi}{9} $`

5) 210°

Найдем радианную меру для угла в 210°:

`$ 210^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{210\pi}{180} $`

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 210 и 180 равен 30:

`$ \frac{210\pi}{180} = \frac{(7 \cdot 30)\pi}{6 \cdot 30} = \frac{7\pi}{6} $`

Ответ: `$ \frac{7\pi}{6} $`

6) 300°

Найдем радианную меру для угла в 300°:

`$ 300^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{300\pi}{180} $`

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 300 и 180 равен 60:

`$ \frac{300\pi}{180} = \frac{(5 \cdot 60)\pi}{3 \cdot 60} = \frac{5\pi}{3} $`

Ответ: `$ \frac{5\pi}{3} $`

17.2. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

1) $\frac{\pi}{10}$;

2) $\frac{2\pi}{5}$;

3) $\frac{\pi}{9}$;

4) $1,2\pi$;

5) $3\pi$;

6) $2,5\pi$.

Для перевода радианной меры угла в градусную используется соотношение, что $ \pi $ радиан равно $ 180^\circ $. Чтобы найти градусную меру, нужно радианную меру умножить на $ \frac{180^\circ}{\pi} $.

1)

Переведем радианную меру $ \frac{\pi}{10} $ в градусы:

$ \alpha = \frac{\pi}{10} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{10} = 18^\circ $

Ответ: $ 18^\circ $.

2)

Переведем радианную меру $ \frac{2\pi}{5} $ в градусы:

$ \alpha = \frac{2\pi}{5} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{2 \cdot 180^\circ}{5} = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ $

Ответ: $ 72^\circ $.

3)

Переведем радианную меру $ \frac{\pi}{9} $ в градусы:

$ \alpha = \frac{\pi}{9} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ $

Ответ: $ 20^\circ $.

4)

Переведем радианную меру $ 1,2\pi $ в градусы:

$ \alpha = 1,2\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 1,2 \cdot 180^\circ = 216^\circ $

Ответ: $ 216^\circ $.

5)

Переведем радианную меру $ 3\pi $ в градусы:

$ \alpha = 3\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ $

Ответ: $ 540^\circ $.

6)

Переведем радианную меру $ 2,5\pi $ в градусы:

$ \alpha = 2,5\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 2,5 \cdot 180^\circ = 450^\circ $

Ответ: $ 450^\circ $.

17.3. Вычислите длину дуги окружности, если известны её радианная мера $ \alpha $ и радиус $ R $ окружности:

1) $ \alpha = 3 $, $ R = 5 $ см;

2) $ \alpha = \frac{3\pi}{4} $, $ R = 6 $ см;

3) $ \alpha = 0,4\pi $, $ R = 2 $ см.

Длина дуги окружности $L$ вычисляется по формуле $L = \alpha \cdot R$, где $\alpha$ — это радианная мера дуги, а $R$ — радиус окружности.

1) Дано: $\alpha = 3$, $R = 5$ см.

Подставляем значения в формулу:

$L = 3 \cdot 5 = 15$ см.

Ответ: 15 см.

2) Дано: $\alpha = \frac{3\pi}{4}$, $R = 6$ см.

Подставляем значения в формулу:

$L = \frac{3\pi}{4} \cdot 6 = \frac{18\pi}{4} = \frac{9\pi}{2}$ см.

Ответ: $\frac{9\pi}{2}$ см.

3) Дано: $\alpha = 0,4\pi$, $R = 2$ см.

Подставляем значения в формулу:

$L = 0,4\pi \cdot 2 = 0,8\pi$ см.

Ответ: $0,8\pi$ см.

17.4. Сравните величины углов, заданных в радианах:

1) $\frac{\pi}{2}$ и 1,5;

2) $-\frac{\pi}{2}$ и -2;

3) $\frac{\pi}{3}$ и 1.

1) Сравним величины $\frac{\pi}{2}$ и 1,5.

Для сравнения можно использовать приближенное значение числа $\pi$. Общеизвестно, что $\pi \approx 3,14159...$

Вычислим приближенное значение дроби $\frac{\pi}{2}$:

$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$.

Теперь сравним полученное значение с 1,5:

$1,57 > 1,5$.

Следовательно, можно сделать вывод, что $\frac{\pi}{2} > 1,5$.

Для строгого доказательства достаточно использовать известное неравенство $\pi > 3$. Разделим обе части неравенства на положительное число 2, знак неравенства при этом не изменится:

$\frac{\pi}{2} > \frac{3}{2}$, что то же самое, что и $\frac{\pi}{2} > 1,5$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} > 1,5$.

2) Сравним величины $-\frac{\pi}{2}$ и -2.

Из предыдущего пункта известно, что $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Тогда $-\frac{\pi}{2} \approx -1,57$.

Теперь необходимо сравнить два отрицательных числа: -1,57 и -2. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, либо то, которое на числовой оси расположено правее.

$|-1,57| = 1,57$

$|-2| = 2$

Так как $1,57 < 2$, то $-1,57 > -2$.

Следовательно, $-\frac{\pi}{2} > -2$.

Для строгого доказательства можно использовать неравенство $\pi < 4$. Разделим обе части на 2:

$\frac{\pi}{2} < 2$.

Теперь умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-\frac{\pi}{2} > -2$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} > -2$.

3) Сравним величины $\frac{\pi}{3}$ и 1.

Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

$\frac{\pi}{3} \approx \frac{3,14}{3} \approx 1,047$.

Сравнивая полученное значение с 1, получаем:

$1,047 > 1$.

Таким образом, $\frac{\pi}{3} > 1$.

Для строгого доказательства воспользуемся неравенством $\pi > 3$. Разделим обе части неравенства на 3:

$\frac{\pi}{3} > \frac{3}{3}$, то есть $\frac{\pi}{3} > 1$.

Ответ: $\frac{\pi}{3} > 1$.

17.5. Сравните величины углов, заданных в радианах:

1) $\frac{\pi}{4}$ и 1;

2) $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{\pi}{6}$.

1) Чтобы сравнить величины $\frac{\pi}{4}$ и $1$, нужно сравнить значение числителя дроби, то есть числа $\pi$, с числом $4$.

Известно, что число $\pi$ — это иррациональное число, приблизительное значение которого равно $3,14159...$.

Поскольку $3,14159... < 4$, то можно записать неравенство $\pi < 4$.

Разделим обе части этого неравенства на положительное число $4$. Знак неравенства при этом не изменится:

$\frac{\pi}{4} < \frac{4}{4}$

Выполним упрощение в правой части:

$\frac{\pi}{4} < 1$

Ответ: $\frac{\pi}{4} < 1$.

2) Чтобы сравнить отрицательные числа $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{\pi}{6}$, сначала сравним их абсолютные величины (модули): $\frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6}$.

Для сравнения дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6}$ приведем их к общему знаменателю $6$.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$

Теперь необходимо сравнить дроби $\frac{3}{6}$ и $\frac{\pi}{6}$. Так как их знаменатели равны, достаточно сравнить их числители: $3$ и $\pi$.

Поскольку $\pi \approx 3,14159...$, очевидно, что $\pi > 3$.

Следовательно, $\frac{\pi}{6} > \frac{3}{6}$, а значит $\frac{\pi}{6} > \frac{1}{2}$.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как мы установили, что $\frac{1}{2} < \frac{\pi}{6}$, то из этого следует, что $-\frac{1}{2} > -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{2} > -\frac{\pi}{6}$.

17.6. Отметьте на единичной окружности точку, которую получим при повороте точки $P_0(1; 0)$ на угол:

1) $\frac{5\pi}{3}$;

2) $-45^\circ$;

3) $-120^\circ$;

4) $450^\circ$;

5) $-480^\circ$;

6) $-\frac{7\pi}{3}$.

Чтобы отметить на единичной окружности точку, которую мы получим при повороте точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, нужно определить ее координаты $(x; y)$. Координаты находятся по формулам $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$. Положительный угол означает поворот против часовой стрелки, а отрицательный — по часовой стрелке.

1) $\frac{5\pi}{3}$
Угол поворота $\alpha = \frac{5\pi}{3}$. Для удобства переведем радианы в градусы: $\alpha = \frac{5 \cdot 180^\circ}{3} = 300^\circ$.
Так как $270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$, точка находится в IV четверти.
Найдем координаты точки:
$x = \cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(300^\circ) = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
$y = \sin(\frac{5\pi}{3}) = \sin(300^\circ) = \sin(360^\circ - 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: Искомая точка $P_1(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$ расположена в IV четверти.

2) -45°
Угол поворота $\alpha = -45^\circ$. Знак "минус" означает поворот по часовой стрелке. Точка будет находиться в IV четверти.
Найдем координаты точки:
$x = \cos(-45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$y = \sin(-45^\circ) = -\sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: Искомая точка $P_2(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$ расположена в IV четверти на биссектрисе угла.

3) -120°
Угол поворота $\alpha = -120^\circ$. Поворот выполняется по часовой стрелке. Так как $90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$, точка окажется в III четверти.
Найдем координаты точки:
$x = \cos(-120^\circ) = \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$.
$y = \sin(-120^\circ) = -\sin(120^\circ) = -\sin(180^\circ - 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: Искомая точка $P_3(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$ расположена в III четверти.

4) 450°
Угол поворота $\alpha = 450^\circ$. Так как угол больше $360^\circ$, он представляет собой более одного полного оборота. Найдем эквивалентный угол в пределах первого оборота: $450^\circ - 360^\circ = 90^\circ$.
Таким образом, поворот на $450^\circ$ эквивалентен повороту на $90^\circ$. Точка окажется на положительной части оси OY.
Найдем координаты точки:
$x = \cos(450^\circ) = \cos(90^\circ) = 0$.
$y = \sin(450^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$.
Ответ: Искомая точка $P_4(0; 1)$ расположена на оси OY.

5) -480°
Угол поворота $\alpha = -480^\circ$. Угол по модулю больше $360^\circ$, поэтому найдем эквивалентный угол, прибавив $360^\circ$: $-480^\circ + 360^\circ = -120^\circ$.
Этот угол совпадает с углом из пункта 3), следовательно, точка будет той же самой. Она расположена в III четверти.
Найдем координаты точки:
$x = \cos(-480^\circ) = \cos(-120^\circ) = -\frac{1}{2}$.
$y = \sin(-480^\circ) = \sin(-120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: Искомая точка $P_5(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$ расположена в III четверти.

6) $-\frac{7\pi}{3}$
Угол поворота $\alpha = -\frac{7\pi}{3}$. Угол по модулю больше $2\pi$ ($2\pi = \frac{6\pi}{3}$). Найдем эквивалентный угол в пределах от $-2\pi$ до $0$: $-\frac{7\pi}{3} + 2\pi = -\frac{7\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$.
Поворот на $-\frac{7\pi}{3}$ эквивалентен повороту на $-\frac{\pi}{3}$ (или $-60^\circ$). Точка окажется в IV четверти. Эта точка совпадает с точкой из пункта 1).
Найдем координаты точки:
$x = \cos(-\frac{7\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
$y = \sin(-\frac{7\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: Искомая точка $P_6(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$ расположена в IV четверти.