Страница 127 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.12. Решите неравенство:

1) $ \sqrt{x-6} - \sqrt{x+10} \le 1$;

2) $ 2\sqrt{x} + \sqrt{5-x} > \sqrt{x+21}$.

Решим неравенство $ \sqrt{x-6} - \sqrt{x+10} \leq 1 $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x - 6 \geq 0 \\ x + 10 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 6 \\ x \geq -10 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $ x \geq 6 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in [6; +\infty) $.

Рассмотрим левую часть неравенства на ОДЗ. Так как для любого $x$ из ОДЗ выполняется $ x-6 < x+10 $, а функция $ y=\sqrt{t} $ является строго возрастающей, то $ \sqrt{x-6} < \sqrt{x+10} $.

Следовательно, разность $ \sqrt{x-6} - \sqrt{x+10} $ всегда является отрицательным числом.

В то же время правая часть неравенства равна 1, то есть является положительным числом. Любое отрицательное число всегда меньше или равно положительному числу 1.

Это означает, что исходное неравенство справедливо для всех значений $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $ [6; +\infty) $.

Решим неравенство $ 2\sqrt{x} + \sqrt{5-x} > \sqrt{x+21} $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$ \begin{cases} x \geq 0 \\ 5 - x \geq 0 \\ x + 21 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 0 \\ x \leq 5 \\ x \geq -21 \end{cases} $

Пересечением этих условий является промежуток $ [0; 5] $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in [0; 5] $.

2. На ОДЗ обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$ (2\sqrt{x} + \sqrt{5-x})^2 > (\sqrt{x+21})^2 $

$ 4x + 2 \cdot 2\sqrt{x} \cdot \sqrt{5-x} + (5-x) > x+21 $

$ 4x + 4\sqrt{x(5-x)} + 5 - x > x + 21 $

3. Приведем подобные слагаемые и уединим член с корнем:

$ 3x + 5 + 4\sqrt{5x-x^2} > x + 21 $

$ 4\sqrt{5x-x^2} > x + 21 - 3x - 5 $

$ 4\sqrt{5x-x^2} > 16 - 2x $

Разделим обе части на 2:

$ 2\sqrt{5x-x^2} > 8 - x $

4. Проанализируем знак правой части $ 8 - x $ на ОДЗ $ x \in [0; 5] $. Поскольку $x \leq 5$, то $ -x \geq -5 $, и $ 8-x \geq 8-5=3 $. Следовательно, правая часть $ 8-x $ всегда положительна на ОДЗ.

Так как обе части полученного неравенства положительны на ОДЗ, мы можем снова возвести их в квадрат:

$ (2\sqrt{5x-x^2})^2 > (8-x)^2 $

$ 4(5x-x^2) > 64 - 16x + x^2 $

$ 20x - 4x^2 > 64 - 16x + x^2 $

5. Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$ 0 > 5x^2 - 36x + 64 $

или

$ 5x^2 - 36x + 64 < 0 $

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ 5x^2 - 36x + 64 = 0 $ с помощью дискриминанта.

$ D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 64 = 1296 - 1280 = 16 = 4^2 $.

Корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 - 4}{2 \cdot 5} = \frac{32}{10} = 3,2 $

$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4 $

Парабола $ y = 5x^2 - 36x + 64 $ имеет ветви, направленные вверх ($a=5>0$), поэтому она принимает отрицательные значения между своими корнями. Решение неравенства: $ 3,2 < x < 4 $.

6. Теперь найдем пересечение полученного интервала $ (3,2; 4) $ с ОДЗ $ [0; 5] $:

$ (3,2; 4) \cap [0; 5] = (3,2; 4) $.

Ответ: $ (3,2; 4) $.

16.13. Решите неравенство $\sqrt{x+3} + \sqrt[3]{x^3+x+6} \ge 4$.

Для решения неравенства $\sqrt{x+3} + \sqrt[3]{x^3+x+6} \ge 4$ воспользуемся методом анализа функции.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x+3 \ge 0$

$x \ge -3$

Выражение под знаком кубического корня определено для любого действительного числа. Следовательно, ОДЗ неравенства: $x \in [-3, +\infty)$.

2. Исследуем функцию и решим неравенство.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x+3} + \sqrt[3]{x^3+x+6}$. Исходное неравенство можно записать в виде $f(x) \ge 4$.

Сначала найдем значение $x$, при котором достигается равенство $f(x) = 4$. Методом подбора легко заметить, что при $x=1$ равенство выполняется:

$f(1) = \sqrt{1+3} + \sqrt[3]{1^3+1+6} = \sqrt{4} + \sqrt[3]{8} = 2 + 2 = 4$.

Теперь исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Она является суммой двух функций: $g(x) = \sqrt{x+3}$ и $h(x) = \sqrt[3]{x^3+x+6}$.

Функция $g(x) = \sqrt{x+3}$ является строго возрастающей на своей области определения как композиция двух возрастающих функций ($y=\sqrt{t}$ и $t=x+3$).

Рассмотрим функцию $h(x) = \sqrt[3]{x^3+x+6}$. Функция $y=\sqrt[3]{t}$ является строго возрастающей. Внутренняя функция $p(x)=x^3+x+6$ также является строго возрастающей, поскольку ее производная $p'(x) = 3x^2+1$ положительна при всех значениях $x$ ($3x^2 \ge 0 \Rightarrow 3x^2+1 \ge 1 > 0$). Следовательно, $h(x)$ как композиция двух строго возрастающих функций также является строго возрастающей.

Сумма двух строго возрастающих функций $g(x)$ и $h(x)$ есть строго возрастающая функция $f(x)$ на всей области определения $x \ge -3$.

Так как функция $f(x)$ строго возрастает и $f(1)=4$, то:

• при $x > 1$ будет выполняться $f(x) > f(1)$, то есть $f(x) > 4$;
• при $x < 1$ будет выполняться $f(x) < f(1)$, то есть $f(x) < 4$.

Неравенство $f(x) \ge 4$ выполняется при $x=1$ (когда $f(x)=4$) и при $x > 1$ (когда $f(x)>4$). Объединяя эти случаи, получаем решение $x \ge 1$.

Это множество ($x \ge 1$) полностью входит в ОДЗ ($x \ge -3$).

Ответ: $[1, +\infty)$.

16.14. Решите неравенство $\sqrt[3]{x-2} + \sqrt{x^3+8} < 4$.

Данное неравенство: $ \sqrt[3]{x-2} + \sqrt{x^3+8} < 4 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:

$ x^3 + 8 \ge 0 $

Перенесем 8 в правую часть:

$ x^3 \ge -8 $

Извлечем кубический корень из обеих частей неравенства:

$ x \ge \sqrt[3]{-8} $

$ x \ge -2 $

Таким образом, ОДЗ данного неравенства: $ x \in [-2, +\infty) $.

Рассмотрим функцию $ f(x) = \sqrt[3]{x-2} + \sqrt{x^3+8} $. Тогда исходное неравенство можно переписать в виде $ f(x) < 4 $.

Проанализируем монотонность функции $ f(x) $ на её области определения. Она представляет собой сумму двух функций: $ y_1(x) = \sqrt[3]{x-2} $ и $ y_2(x) = \sqrt{x^3+8} $.

Функция $ y_1(x) = \sqrt[3]{x-2} $ является строго возрастающей на всей числовой прямой, так как это кубический корень из линейной возрастающей функции.

Функция $ y_2(x) = \sqrt{x^3+8} $ является композицией двух возрастающих функций: $ u(x) = x^3+8 $ (возрастает на всей числовой прямой) и $ v(u) = \sqrt{u} $ (возрастает на своей области определения $ u \ge 0 $). Следовательно, $ y_2(x) $ также является строго возрастающей на своей области определения $ x \ge -2 $.

Сумма двух строго возрастающих функций есть строго возрастающая функция. Значит, функция $ f(x) $ является строго возрастающей на всей своей области определения $ x \in [-2, +\infty) $.

Для решения неравенства $ f(x) < 4 $ найдем сначала корень уравнения $ f(x) = 4 $. В силу строгой монотонности функции $ f(x) $ это уравнение может иметь не более одного корня. Попробуем найти его подбором, проверяя целые значения из ОДЗ.

Проверим $ x=2 $:

$ f(2) = \sqrt[3]{2-2} + \sqrt{2^3+8} = \sqrt[3]{0} + \sqrt{8+8} = 0 + \sqrt{16} = 4 $.

Таким образом, $ x=2 $ является единственным корнем уравнения $ f(x) = 4 $.

Поскольку функция $ f(x) $ строго возрастает, то для всех значений аргумента, меньших корня, значения функции будут меньше значения в корне. То есть, неравенство $ f(x) < 4 $ равносильно неравенству $ f(x) < f(2) $, что для строго возрастающей функции эквивалентно $ x < 2 $.

Теперь необходимо учесть ОДЗ. Для этого решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x < 2 \\ x \ge -2 \end{cases} $

Решением этой системы является числовой промежуток $ [-2, 2) $.

Ответ: $ [-2, 2) $.

16.15. При каких значениях параметра $a$ множеством решений неравенства $\sqrt{1 - (x + 2a)^2} \ge \frac{4}{3}x$ является промежуток длиной $\frac{9}{5}$?

Для решения задачи рассмотрим графическую интерпретацию неравенства.

Пусть $y = \sqrt{1 - (x + 2a)^2}$. Это уравнение задает верхнюю половину окружности с центром в точке $C(-2a, 0)$ и радиусом $R=1$. Уравнение окружности: $(x + 2a)^2 + y^2 = 1$.

Неравенство принимает вид $y \ge \frac{4}{3}x$. Это означает, что мы ищем такие значения $x$, для которых точки верхней полуокружности лежат не ниже точек прямой $y = \frac{4}{3}x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ определяется из условия $1 - (x + 2a)^2 \ge 0$, что равносильно $(x + 2a)^2 \le 1$, или $-1 \le x + 2a \le 1$. Отсюда получаем ОДЗ: $x \in [-1 - 2a, 1 - 2a]$.

Для удобства введем новую переменную $u = x + 2a$. Тогда $x = u - 2a$. Окружность в координатах $(u, y)$ имеет уравнение $u^2 + y^2 = 1$ (верхняя полуокружность $y = \sqrt{1-u^2}$). Прямая в новых координатах: $y = \frac{4}{3}(u - 2a)$. ОДЗ для $u$: $u \in [-1, 1]$.

Неравенство в новых координатах: $\sqrt{1 - u^2} \ge \frac{4}{3}(u - 2a)$.

Множество решений для $x$ является промежутком длиной $\frac{9}{5}$. Поскольку $x$ и $u$ связаны линейной зависимостью $u = x + 2a$ (сдвиг), то длина промежутка решений для $u$ также будет равна $\frac{9}{5}$.

Найдем точки пересечения полуокружности $y = \sqrt{1-u^2}$ и прямой $y = \frac{4}{3}(u - 2a)$. Для этого решим систему уравнений: $$ \begin{cases} y^2 = 1 - u^2 \\ y = \frac{4}{3}(u - 2a) \end{cases} $$ Подставив второе уравнение в первое, получаем: $$ \left(\frac{4}{3}(u - 2a)\right)^2 = 1 - u^2 $$ $$ \frac{16}{9}(u^2 - 4au + 4a^2) = 1 - u^2 $$ $$ 16u^2 - 64au + 64a^2 = 9 - 9u^2 $$ $$ 25u^2 - 64au + (64a^2 - 9) = 0 $$ Пусть $u_A$ и $u_B$ — корни этого квадратного уравнения, абсциссы точек пересечения.

Множество решений неравенства — это промежуток, концами которого могут быть либо точки пересечения $u_A, u_B$, либо концы области определения $u_L = -1$ и $u_R = 1$.

Случай 1: Множество решений — это промежуток $[u_A, u_B]$. Длина этого промежутка $|u_B - u_A| = \frac{\sqrt{D}}{|A|} = \frac{\sqrt{(-64a)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (64a^2 - 9)}}{25} = \frac{\sqrt{4096a^2 - 6400a^2 + 900}}{25} = \frac{\sqrt{900 - 2304a^2}}{25}$. По условию, длина равна $\frac{9}{5}$: $$ \frac{\sqrt{900 - 2304a^2}}{25} = \frac{9}{5} $$ $$ \sqrt{900 - 2304a^2} = 45 $$ $$ 900 - 2304a^2 = 2025 $$ $$ -2304a^2 = 1125 $$ Это уравнение не имеет действительных решений, так как левая часть неположительна, а правая положительна. Следовательно, этот случай невозможен.

Это означает, что один из концов промежутка решений совпадает с концом области определения $u = -1$ или $u = 1$.

Случай 2: Множество решений — это промежуток $[-1, u_B]$, где $u_B$ — одна из точек пересечения. Длина промежутка: $u_B - (-1) = \frac{9}{5}$, откуда $u_B = \frac{4}{5}$. Для этого случая необходимо, чтобы в точке $u = -1$ неравенство выполнялось. $\sqrt{1 - (-1)^2} \ge \frac{4}{3}(-1 - 2a) \implies 0 \ge \frac{4}{3}(-1 - 2a) \implies -1 - 2a \le 0 \implies a \ge -0.5$. Также необходимо, чтобы вторая точка пересечения $u_A$ была левее $-1$, то есть $u_A < -1$. Подставим $u_B = \frac{4}{5}$ в квадратное уравнение для $u$: $$ 25\left(\frac{4}{5}\right)^2 - 64a\left(\frac{4}{5}\right) + (64a^2 - 9) = 0 $$ $$ 25\left(\frac{16}{25}\right) - \frac{256}{5}a + 64a^2 - 9 = 0 $$ $$ 16 - \frac{256}{5}a + 64a^2 - 9 = 0 $$ $$ 64a^2 - \frac{256}{5}a + 7 = 0 $$ $$ 320a^2 - 256a + 35 = 0 $$ Решим это квадратное уравнение относительно $a$: $D_a = (-256)^2 - 4 \cdot 320 \cdot 35 = 65536 - 44800 = 20736 = 144^2$. $a = \frac{256 \pm 144}{640}$. $a_1 = \frac{256 + 144}{640} = \frac{400}{640} = \frac{5}{8}$. $a_2 = \frac{256 - 144}{640} = \frac{112}{640} = \frac{7}{40}$. Проверим оба значения $a$. При $a = 5/8$: $a > -0.5$. По теореме Виета для уравнения $25u^2 - 64au + (64a^2 - 9) = 0$: $u_A + u_B = \frac{64a}{25}$. $u_A + \frac{4}{5} = \frac{64(5/8)}{25} = \frac{40}{25} = \frac{8}{5}$. Отсюда $u_A = \frac{4}{5}$. В этом случае $u_A = u_B$, прямая касается полуокружности. Решением неравенства является вся область определения $[-1, 1]$, длина которой равна 2, а не $9/5$. Значение $a = 5/8$ не подходит. При $a = 7/40$: $a > -0.5$. $u_A + \frac{4}{5} = \frac{64(7/40)}{25} = \frac{8 \cdot 7}{5 \cdot 25} = \frac{56}{125}$. $u_A = \frac{56}{125} - \frac{4}{5} = \frac{56 - 100}{125} = -\frac{44}{125}$. Проверяем условие $u_A < -1$: $-\frac{44}{125} < -1$, что является верным. Следовательно, при $a=7/40$ множество решений для $u$ — это промежуток $[-1, 4/5]$, длина которого равна $9/5$. Это значение параметра подходит.

Случай 3: Множество решений — это промежуток $[u_A, 1]$. Длина промежутка: $1 - u_A = \frac{9}{5}$, откуда $u_A = -\frac{4}{5}$. Для этого случая необходимо, чтобы в точке $u = 1$ неравенство выполнялось. $\sqrt{1 - 1^2} \ge \frac{4}{3}(1 - 2a) \implies 0 \ge \frac{4}{3}(1 - 2a) \implies 1 - 2a \le 0 \implies a \ge 0.5$. Подставим $u_A = -4/5$ в квадратное уравнение: $$ 25\left(-\frac{4}{5}\right)^2 - 64a\left(-\frac{4}{5}\right) + (64a^2 - 9) = 0 $$ $$ 16 + \frac{256}{5}a + 64a^2 - 9 = 0 $$ $$ 320a^2 + 256a + 35 = 0 $$ $a = \frac{-256 \pm 144}{640}$. $a_1 = \frac{-256 + 144}{640} = \frac{-112}{640} = -\frac{7}{40}$. $a_2 = \frac{-256 - 144}{640} = \frac{-400}{640} = -\frac{5}{8}$. Оба найденных значения не удовлетворяют условию $a \ge 0.5$, поэтому в этом случае решений нет.

Единственным подходящим значением является $a = 7/40$.

Ответ: $a = \frac{7}{40}$.

16.16. При каких значениях параметра $a$ множеством решений неравенства

$\sqrt{1 - x^2} \ge \frac{4}{3}(x - a)$ является промежуток длиной $\frac{9}{5}$?

Рассмотрим неравенство $\sqrt{1-x^2} \ge \frac{4}{3}(x-a)$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $1-x^2 \ge 0$, что равносильно $x^2 \le 1$.
Следовательно, ОДЗ для $x$ является промежуток $[-1, 1]$.

2. Геометрическая интерпретация.

Рассмотрим две функции: $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ и $g(x) = \frac{4}{3}(x-a)$.
График функции $y=f(x)$ — это верхняя половина окружности с центром в точке $(0,0)$ и радиусом 1.
График функции $y=g(x)$ — это семейство прямых с угловым коэффициентом $k=\frac{4}{3}$. Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой по горизонтали; при $x=a$ прямая пересекает ось абсцисс.

Решить неравенство — значит найти все значения $x$ из отрезка $[-1, 1]$, при которых график функции $f(x)$ находится не ниже графика функции $g(x)$.

3. Анализ множества решений.

Функция $\phi(x) = \sqrt{1-x^2} - \frac{4}{3}(x-a)$ является вогнутой на всей области определения $[-1, 1]$. Следовательно, множество решений неравенства $\phi(x) \ge 0$ представляет собой один непрерывный промежуток (отрезок).

По условию, длина этого промежутка равна $\frac{9}{5}$. Обозначим этот промежуток как $[x_1, x_2]$. Тогда $x_2 - x_1 = \frac{9}{5}$.
Концы этого промежутка, $x_1$ и $x_2$, могут быть либо концами ОДЗ ($-1$ или $1$), либо точками пересечения графиков $f(x)$ и $g(x)$.

Точки пересечения находятся из уравнения $\sqrt{1-x^2} = \frac{4}{3}(x-a)$.
Возведем обе части в квадрат (при условии $x-a \ge 0$):
$1-x^2 = \frac{16}{9}(x-a)^2$
$9(1-x^2) = 16(x^2 - 2ax + a^2)$
$9 - 9x^2 = 16x^2 - 32ax + 16a^2$
$25x^2 - 32ax + 16a^2 - 9 = 0$

Рассмотрим возможные варианты для промежутка решений $[x_1, x_2]$.

Случай 1: Промежуток решений определяется только точками пересечения, то есть $[x_1, x_2] = [x_A, x_B]$, где $x_A$ и $x_B$ — корни квадратного уравнения, и при этом $[-1, 1]$ полностью содержит этот промежуток. Длина $x_B - x_A = \frac{9}{5}$.
$x_B - x_A = \frac{\sqrt{D}}{25}$, где $D = (32a)^2 - 4 \cdot 25 (16a^2-9) = 900 - 576a^2$.
$\frac{\sqrt{900-576a^2}}{25} = \frac{9}{5} \implies \sqrt{900-576a^2} = 45$.
$900 - 576a^2 = 2025 \implies -576a^2 = 1125 \implies a^2 = -\frac{1125}{576}$.
Это уравнение не имеет действительных решений для $a$. Значит, этот случай невозможен.

Случай 2: Один из концов промежутка решений совпадает с концом ОДЗ.

Подслучай 2а: Левый конец промежутка решений $x_1 = -1$.
Тогда правый конец $x_2 = x_1 + \frac{9}{5} = -1 + \frac{9}{5} = \frac{4}{5}$.
Промежуток решений: $[-1, \frac{4}{5}]$.
Это означает, что в точке $x = \frac{4}{5}$ неравенство обращается в равенство:
$\sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \frac{4}{3}(\frac{4}{5} - a)$
$\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{4}{3}(\frac{4}{5} - a)$
$\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{4}{3}(\frac{4}{5} - a)$
$\frac{3}{5} = \frac{4}{3}(\frac{4}{5} - a)$
$\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{4}{5} - a$
$\frac{9}{20} = \frac{4}{5} - a$
$a = \frac{4}{5} - \frac{9}{20} = \frac{16-9}{20} = \frac{7}{20}$.

Проверим, действительно ли при $a = \frac{7}{20}$ множеством решений является промежуток $[-1, \frac{4}{5}]$.
Неравенство: $\sqrt{1-x^2} \ge \frac{4}{3}(x - \frac{7}{20})$.
- Если $x < \frac{7}{20}$, правая часть отрицательна, а левая неотрицательна. Неравенство выполняется для всех $x$ из ОДЗ, удовлетворяющих этому условию, т.е. для $x \in [-1, \frac{7}{20})$.
- Если $x \ge \frac{7}{20}$, обе части неотрицательны. Можно возвести в квадрат. Решениями квадратного неравенства $25x^2 - 32ax + 16a^2 - 9 \le 0$ является отрезок между его корнями. При $a = \frac{7}{20}$ корни уравнения $25x^2 - 32(\frac{7}{20})x + 16(\frac{7}{20})^2 - 9 = 0$ это $x_A = -\frac{44}{125}$ и $x_B = \frac{4}{5}$. Решениями неравенства являются $x \in [-\frac{44}{125}, \frac{4}{5}]$. Учитывая условие $x \ge \frac{7}{20}$, получаем $x \in [\frac{7}{20}, \frac{4}{5}]$.
Объединяя решения для обоих случаев, получаем множество $[-1, \frac{7}{20}) \cup [\frac{7}{20}, \frac{4}{5}] = [-1, \frac{4}{5}]$.
Длина этого промежутка равна $\frac{4}{5} - (-1) = \frac{9}{5}$.
Следовательно, значение $a=\frac{7}{20}$ подходит.

Подслучай 2б: Правый конец промежутка решений $x_2 = 1$.
Тогда левый конец $x_1 = x_2 - \frac{9}{5} = 1 - \frac{9}{5} = -\frac{4}{5}$.
Промежуток решений: $[-\frac{4}{5}, 1]$.
Это означает, что в точке $x = -\frac{4}{5}$ неравенство обращается в равенство:
$\sqrt{1 - (-\frac{4}{5})^2} = \frac{4}{3}(-\frac{4}{5} - a)$
$\frac{3}{5} = \frac{4}{3}(-\frac{4}{5} - a)$
$\frac{9}{20} = -\frac{4}{5} - a$
$a = -\frac{4}{5} - \frac{9}{20} = -\frac{16+9}{20} = -\frac{25}{20} = -\frac{5}{4}$.

Проверим значение $a = -\frac{5}{4}$.
При $a = -\frac{5}{4}$ прямая $y = \frac{4}{3}(x + \frac{5}{4})$ является касательной к окружности $x^2+y^2=1$. Точка касания имеет координату $x = -\frac{4}{5}$. В этой точке неравенство обращается в равенство. Во всех остальных точках $x \in [-1, 1]$ прямая проходит выше верхней полуокружности, то есть $\sqrt{1-x^2} < \frac{4}{3}(x+\frac{5}{4})$.
Таким образом, при $a = -\frac{5}{4}$ решением является единственная точка $x=-\frac{4}{5}$. Длина этого множества равна 0, а не $\frac{9}{5}$. Это значение не подходит.

Другой корень уравнения для $a$ в этом подслучае ($a = -\frac{7}{20}$) также не подходит, так как при его проверке множество решений не совпадает с $[-\frac{4}{5}, 1]$.

Таким образом, единственное подходящее значение параметра $a$ было найдено в подслучае 2а.

Ответ: $a = \frac{7}{20}$.