Страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.19. Решите уравнение $\sqrt{2-\sqrt{2-x}} = x$.

Исходное уравнение:
$ \sqrt{2-\sqrt{2-x}} = x $

1. Определение Области Допустимых Значений (ОДЗ)

Для того чтобы уравнение имело смысл, должны выполняться следующие условия:
1) Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $2 - x \ge 0$, что означает $x \le 2$.
2) Правая часть уравнения, равная значению арифметического квадратного корня, должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.
3) Выражение под внешним корнем также должно быть неотрицательным: $2 - \sqrt{2-x} \ge 0$.

Решим третье условие:
$2 \ge \sqrt{2-x}$
Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$4 \ge 2-x$
$x \ge 2-4$
$x \ge -2$

Объединим все найденные условия для $x$:
$x \le 2$
$x \ge 0$
$x \ge -2$
Пересечение этих условий дает нам итоговую ОДЗ: $0 \le x \le 2$.

2. Решение уравнения

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат, так как мы знаем, что обе части неотрицательны ($x \ge 0$):
$(\sqrt{2-\sqrt{2-x}})^2 = x^2$
$2 - \sqrt{2-x} = x^2$

Теперь изолируем оставшийся корень:
$\sqrt{2-x} = 2 - x^2$

Перед следующим возведением в квадрат необходимо убедиться, что правая часть $2 - x^2$ также неотрицательна:
$2 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 2 \implies -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.

Совместим это новое ограничение с нашей ОДЗ ($0 \le x \le 2$). Область для возможных корней сужается до: $0 \le x \le \sqrt{2}$.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{2-x} = 2 - x^2$ в квадрат:
$2-x = (2-x^2)^2$
$2-x = 4 - 4x^2 + x^4$

Приведем уравнение к стандартному виду:
$x^4 - 4x^2 + x + 2 = 0$

3. Решение полиномиального уравнения

Попробуем найти рациональные корни этого уравнения среди делителей свободного члена (числа 2). Возможные корни: $\pm1, \pm2$.
Проверим $x=1$: $1^4 - 4(1)^2 + 1 + 2 = 1 - 4 + 1 + 2 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем.
Проверим $x=-2$: $(-2)^4 - 4(-2)^2 + (-2) + 2 = 16 - 16 - 2 + 2 = 0$. Значит, $x=-2$ также является корнем.

Поскольку $x=1$ и $x=-2$ — корни, многочлен $x^4 - 4x^2 + x + 2$ делится на $(x-1)(x+2) = x^2+x-2$. Выполнив деление многочленов, получим:
$(x^2+x-2)(x^2 - x - 1) = 0$

Теперь у нас есть совокупность уравнений:
1) $x-1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $x+2 = 0 \implies x_2 = -2$
3) $x^2 - x - 1 = 0$. Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 5$.
$x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Отсюда $x_3 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ и $x_4 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$.

4. Проверка корней

Проверим, соответствуют ли найденные корни нашему условию $0 \le x \le \sqrt{2}$.
1) $x_1 = 1$. Условие $0 \le 1 \le \sqrt{2}$ выполняется, так как $\sqrt{2} \approx 1.414$. Этот корень подходит.
2) $x_2 = -2$. Не удовлетворяет условию $x \ge 0$. Это посторонний корень.
3) $x_3 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx \frac{1+2.236}{2} \approx 1.618$. Не удовлетворяет условию $x \le \sqrt{2}$. Это посторонний корень.
4) $x_4 = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx \frac{1-2.236}{2} \approx -0.618$. Не удовлетворяет условию $x \ge 0$. Это посторонний корень.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x=1$.

Ответ: $1$

15.20. Решите уравнение $\sqrt{6 - \sqrt{6 - x}} = x$.

Исходное уравнение: $\sqrt{6 - \sqrt{6 - x}} = x$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Для того чтобы уравнение имело смысл, должны выполняться следующие условия:

а) Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $6 - x \ge 0$, откуда $x \le 6$.

б) Правая часть уравнения, равная значению арифметического квадратного корня, должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.

в) Выражение под внешним корнем должно быть неотрицательным: $6 - \sqrt{6 - x} \ge 0$.

Рассмотрим условие в): $6 \ge \sqrt{6 - x}$. Так как обе части неравенства неотрицательны (с учетом $x \ge 0$ и $x \le 6$), можно возвести их в квадрат: $36 \ge 6 - x$, откуда $x \ge 6 - 36$, то есть $x \ge -30$.

Объединяя все условия ($x \le 6$, $x \ge 0$ и $x \ge -30$), получаем ОДЗ для данного уравнения: $0 \le x \le 6$.

2. Решение уравнения

Для решения применим метод введения новой переменной. Пусть $y = \sqrt{6 - x}$. Исходя из определения арифметического корня, $y \ge 0$.

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде $\sqrt{6 - y} = x$.

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений с условиями $x \ge 0$ и $y \ge 0$:

$\begin{cases} y = \sqrt{6 - x} \\ x = \sqrt{6 - y} \end{cases}$

Возведем оба уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:

$\begin{cases} y^2 = 6 - x \\ x^2 = 6 - y \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$y^2 - x^2 = (6 - x) - (6 - y)$

$y^2 - x^2 = y - x$

Применим формулу разности квадратов к левой части:

$(y - x)(y + x) = y - x$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(y - x)$:

$(y - x)(y + x) - (y - x) = 0$

$(y - x)(y + x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $y - x = 0 \implies y = x$.

Подставим $y = x$ в любое из уравнений системы, например, в $x^2 = 6 - y$:

$x^2 = 6 - x$

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$ (и ОДЗ), поэтому он является посторонним.

Корень $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \le 2 \le 6$). Проверим его, подставив в исходное уравнение:

$\sqrt{6 - \sqrt{6 - 2}} = \sqrt{6 - \sqrt{4}} = \sqrt{6 - 2} = \sqrt{4} = 2$.

Правая часть $x=2$. Равенство $2 = 2$ верно. Следовательно, $x = 2$ является корнем уравнения.

Случай 2: $y + x - 1 = 0 \implies y = 1 - x$.

Подставим $y = 1 - x$ в уравнение $x^2 = 6 - y$:

$x^2 = 6 - (1 - x)$

$x^2 = 5 + x$

$x^2 - x - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$

Мы получили два потенциальных корня: $x_3 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$ и $x_4 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$.

Проверим их на соответствие условиям $x \ge 0$ и $y \ge 0$ (где $y=1-x$).

Для корня $x_3 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$: это значение положительно ($x_3>0$). Найдем соответствующее значение $y$:$y = 1 - x_3 = 1 - \frac{1 + \sqrt{21}}{2} = \frac{2 - 1 - \sqrt{21}}{2} = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$. Так как $\sqrt{21} > \sqrt{1} = 1$, значение $y$ отрицательно. Это противоречит условию $y \ge 0$. Следовательно, $x_3$ — посторонний корень.

Для корня $x_4 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$: Так как $\sqrt{21} > 1$, это значение отрицательно ($x_4<0$). Это противоречит условию $x \ge 0$. Следовательно, $x_4$ — также посторонний корень.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x=2$.

Ответ: $2$

15.21. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x^2 + 3x + 5} + \sqrt{2x^2 - 3x + 5} = 3x;$

2) $(\sqrt{x + 1} + 1)(\sqrt{x + 10} - 4) = x.$

1) $\sqrt{2x^2 + 3x + 5} + \sqrt{2x^2 - 3x + 5} = 3x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражения под корнем должны быть неотрицательными:
1. $2x^2 + 3x + 5 \ge 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $2 > 0$, то выражение $2x^2 + 3x + 5$ положительно при любых значениях $x$.
2. $2x^2 - 3x + 5 \ge 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $2 > 0$, то выражение $2x^2 - 3x + 5$ также положительно при любых значениях $x$.
Левая часть уравнения является суммой двух арифметических квадратных корней, поэтому она неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:
$3x \ge 0 \implies x \ge 0$.
Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.

Для решения уравнения введем замены:
Пусть $a = \sqrt{2x^2 + 3x + 5}$ и $b = \sqrt{2x^2 - 3x + 5}$. Заметим, что $a > 0$ и $b > 0$.
Тогда исходное уравнение примет вид:
$a + b = 3x$.

Рассмотрим разность квадратов $a^2$ и $b^2$:
$a^2 - b^2 = (2x^2 + 3x + 5) - (2x^2 - 3x + 5) = 2x^2 + 3x + 5 - 2x^2 + 3x - 5 = 6x$.
С другой стороны, $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Подставим известные нам выражения:
$(a-b)(3x) = 6x$.

Если $x=0$, то исходное уравнение принимает вид $\sqrt{5} + \sqrt{5} = 0$, или $2\sqrt{5} = 0$, что неверно. Значит, $x \ne 0$.
Так как $x \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения $(a-b)(3x) = 6x$ на $3x$:
$a-b = \frac{6x}{3x} = 2$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$\begin{cases} a + b = 3x \\ a - b = 2 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:
$2a = 3x + 2 \implies a = \frac{3x+2}{2}$.
Вернемся к замене для $a$:
$\sqrt{2x^2 + 3x + 5} = \frac{3x+2}{2}$.
Так как $x \ge 0$, правая часть $\frac{3x+2}{2} > 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$2x^2 + 3x + 5 = \frac{(3x+2)^2}{4}$
$2x^2 + 3x + 5 = \frac{9x^2 + 12x + 4}{4}$
Умножим обе части на 4:
$8x^2 + 12x + 20 = 9x^2 + 12x + 4$
$9x^2 - 8x^2 = 20 - 4$
$x^2 = 16$
$x = 4$ или $x = -4$.

Согласно ОДЗ ($x \ge 0$), корень $x=-4$ не подходит.
Остается проверить корень $x=4$.
Подставим $x=4$ в исходное уравнение:
$\sqrt{2(4^2) + 3(4) + 5} + \sqrt{2(4^2) - 3(4) + 5} = \sqrt{2 \cdot 16 + 12 + 5} + \sqrt{2 \cdot 16 - 12 + 5} = \sqrt{32 + 12 + 5} + \sqrt{32 - 12 + 5} = \sqrt{49} + \sqrt{25} = 7 + 5 = 12$.
Правая часть: $3x = 3 \cdot 4 = 12$.
$12 = 12$. Равенство верное, значит, $x=4$ является решением.

Ответ: $4$.

2) $(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+10}-4) = x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражения под корнем должны быть неотрицательными:
$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$
$x+10 \ge 0 \implies x \ge -10$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge -1$.

Заметим, что правую часть уравнения $x$ можно представить, используя выражение из первой скобки. Умножим и разделим левую часть первой скобки на сопряженное выражение:
$(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+1}-1) = (\sqrt{x+1})^2 - 1^2 = (x+1) - 1 = x$.
Подставим это выражение для $x$ в правую часть исходного уравнения:
$(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+10}-4) = (\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+1}-1)$.

Множитель $(\sqrt{x+1}+1)$ всегда положителен, так как по ОДЗ $x \ge -1$, значит $\sqrt{x+1} \ge 0$, и $\sqrt{x+1}+1 \ge 1$.
Поскольку этот множитель не равен нулю, мы можем разделить на него обе части уравнения:
$\sqrt{x+10}-4 = \sqrt{x+1}-1$.

Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать корни:
$\sqrt{x+10} - \sqrt{x+1} = 3$
$\sqrt{x+10} = \sqrt{x+1} + 3$.

Обе части этого уравнения неотрицательны (правая часть $\ge 3$). Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+10})^2 = (\sqrt{x+1}+3)^2$
$x+10 = (x+1) + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x+1} + 9$
$x+10 = x+1 + 6\sqrt{x+1} + 9$
$x+10 = x+10 + 6\sqrt{x+1}$
$0 = 6\sqrt{x+1}$
$\sqrt{x+1} = 0$
$x+1 = 0$
$x = -1$.

Найденный корень $x=-1$ принадлежит ОДЗ ($x \ge -1$).
Проверим его, подставив в исходное уравнение:
$(\sqrt{-1+1}+1)(\sqrt{-1+10}-4) = (\sqrt{0}+1)(\sqrt{9}-4) = (0+1)(3-4) = 1 \cdot (-1) = -1$.
Правая часть: $x = -1$.
$-1 = -1$. Равенство верное, значит, $x=-1$ является решением.

Ответ: $-1$.

15.22. Решите уравнение $\sqrt{x^2 + 3x - 2} + \sqrt{x^2 - x + 1} = 4x - 3.$

Исходное уравнение:

$\sqrt{x^2 + 3x - 2} + \sqrt{x^2 - x + 1} = 4x - 3$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 3x - 2 \ge 0 \\ x^2 - x + 1 \ge 0 \\ 4x - 3 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 3x - 2 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 2 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17$.
Корни: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}$, $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}] \cup [\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - x + 1 \ge 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$.
Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, выражение $x^2 - x + 1$ всегда положительно. Неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Решим третье неравенство: $4x - 3 \ge 0$.
$4x \ge 3 \implies x \ge \frac{3}{4}$.

Теперь найдем пересечение всех решений. Учитывая, что $\frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{-3 + 4.12}{2} \approx 0.56$ и $\frac{3}{4} = 0.75$, получаем, что ОДЗ: $x \ge \frac{3}{4}$.

2. Преобразуем уравнение. Заметим, что разность подкоренных выражений равна правой части уравнения:
$(x^2 + 3x - 2) - (x^2 - x + 1) = x^2 + 3x - 2 - x^2 + x - 1 = 4x - 3$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Пусть $a = \sqrt{x^2 + 3x - 2}$ и $b = \sqrt{x^2 - x + 1}$.
Тогда $a^2 - b^2 = 4x - 3$.
Исходное уравнение имеет вид $a + b = 4x - 3$.
Таким образом, мы имеем систему:
$\begin{cases} a + b = 4x - 3 \\ a^2 - b^2 = 4x - 3 \end{cases}$

Отсюда следует, что $a+b = a^2 - b^2$, или $a+b = (a-b)(a+b)$.

Так как из ОДЗ $4x - 3 \ge 0$, то $a+b \ge 0$. Если $a+b=0$, то $4x-3=0$, что дает $x=3/4$. Подстановка в исходное уравнение показывает, что $x=3/4$ не является корнем: $\frac{\sqrt{13}}{2} \ne 0$.
Следовательно, $a+b \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения $a+b = (a-b)(a+b)$ на $a+b$.
Получаем: $1 = a - b$.

3. Вернемся к исходным переменным:
$\sqrt{x^2 + 3x - 2} - \sqrt{x^2 - x + 1} = 1$.

Теперь решим систему из исходного уравнения и полученного:
$\begin{cases} \sqrt{x^2 + 3x - 2} + \sqrt{x^2 - x + 1} = 4x - 3 \\ \sqrt{x^2 + 3x - 2} - \sqrt{x^2 - x + 1} = 1 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:
$2\sqrt{x^2 + 3x - 2} = 4x - 3 + 1$
$2\sqrt{x^2 + 3x - 2} = 4x - 2$
$\sqrt{x^2 + 3x - 2} = 2x - 1$

4. Решим полученное иррациональное уравнение.
Возведем обе части в квадрат, предварительно установив условие неотрицательности правой части:
$2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.
Это условие не противоречит ОДЗ ($x \ge \frac{3}{4}$).

$(\sqrt{x^2 + 3x - 2})^2 = (2x - 1)^2$
$x^2 + 3x - 2 = 4x^2 - 4x + 1$
$3x^2 - 7x + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения.
$D = (-7)^2 - 4(3)(3) = 49 - 36 = 13$.
$x_1 = \frac{7 - \sqrt{13}}{6}$
$x_2 = \frac{7 + \sqrt{13}}{6}$

5. Проверим найденные корни на соответствие условиям ОДЗ ($x \ge \frac{3}{4}$) и дополнительному условию ($x \ge \frac{1}{2}$). Так как $\frac{3}{4} > \frac{1}{2}$, достаточно проверить выполнение условия $x \ge \frac{3}{4}$.

Проверим $x_1 = \frac{7 - \sqrt{13}}{6}$.
Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $7-4 < 7-\sqrt{13} < 7-3$, то есть $3 < 7-\sqrt{13} < 4$.
Значит, $\frac{3}{6} < \frac{7 - \sqrt{13}}{6} < \frac{4}{6}$, или $0.5 < x_1 < 0.67$.
Поскольку $x_1 \approx 0.56$ и $\frac{3}{4} = 0.75$, корень $x_1$ не удовлетворяет ОДЗ ($x_1 < 3/4$). Следовательно, это посторонний корень.

Проверим $x_2 = \frac{7 + \sqrt{13}}{6}$.
Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $7+3 < 7+\sqrt{13} < 7+4$, то есть $10 < 7+\sqrt{13} < 11$.
Значит, $\frac{10}{6} < \frac{7 + \sqrt{13}}{6} < \frac{11}{6}$, или $1.66 < x_2 < 1.84$.
Поскольку $x_2 > 1$, он удовлетворяет условию $x \ge \frac{3}{4}$. Следовательно, $x_2$ является решением уравнения.

Ответ: $x = \frac{7 + \sqrt{13}}{6}$.